Question

如圖，在直角坐標系中，以點A（，0 ）為圓心，以2為半徑的圓與x軸相交于點B、C，與y軸相交于點D、E

（1）若拋物線經過C、D兩點，求拋物線的表達式，并判斷點B是否在該拋物線上

（2）在（1）中的拋物線的對稱軸上求一點P，使得△PBD的周長最小

（3）設Q為（1）中的拋物線對稱軸上的一點，在拋物線上是否存在這樣的點M，使得四邊形BCQM是平行四邊形，若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由

 

Answer 1

（1） y=x2-x-3，點B（-，0）在拋物線上；

（2）（，-2）；

（3）存在，M（-3，12）或（5，12）或（，-4）.

【解析】

試題分析：（1）根據題意A（，0），得出B（-，0）連接AD，在Rt△AOD中，可求OD，即D（0，-3），把C，D兩點坐標代入拋物線y=x2+bx+c，可求拋物線解析式；

（2）由（1）知，點B關于拋物線對稱軸的對稱點為點C，連接CD，交拋物線對稱軸于P點，P點即為所求，先求直線CD的解析式，已知P點橫坐標x=，代入直線CD的解析式即可求P；

（3）利用BC=4，Q點橫坐標是，當M在Q點左邊，則M點橫坐標為-4=-3，代入拋物線解析式可求M點坐標，進而利用當M在Q點右邊求出M點坐標，．

試題解析：（1）如圖：

∵OA=，AB=AC=2，

∴B（-，0），C（3，0），

在Rt△AOD中，AD=2，OA=，

∴OD=

∴D的坐標為：（0，-3），

又D，C兩點在拋物線上，

則

解得：

則拋物線的解析式為：y=x2-x-3，

當x=-時，y=0，

故點B（-，0）在拋物線上；

（2）如圖：

∵y=x2-x-3=（x-）2-4，

∴拋物線y=x2-x-3的對稱軸方程為：x=，

在拋物線的對稱軸上存在點P，使△PBD的周長最小．

∵BD的長為定值，

∴要使△PBD周長最小只需PB+PD最小．

連結DC，則DC與對稱軸的交點即為使△PBD周長最小的點．

設直線DC的解析式為y=mx+n．

由

解得：

∴直線DC的解析式為：y=x-3，

由

解得：

故點P的坐標為：（，-2）；

（3）存在，

如圖：

設Q（，t）為拋物線對稱軸x=上一點，M在拋物線上要使四邊形BCQM為平行四邊形，

則BC∥QM且BC=QM，點M在對稱軸的左側．

于是，過點Q作直線L∥BC與拋物線交于點M（xm，t），

由BC=QM得QM=4從而xm=-3，

故t=x2-x-3

解得：t=12，

故在拋物線上存在點M（-3，12），使得四邊形BCQM為平行四邊形；

故當M在Q點右邊MQ=4，則M點橫坐標為：5，可得縱坐標為：12，

另外：M在拋物線的頂點上也可以構造平行四邊形，此時頂點坐標為：（，-4），

故在拋物線上存在點M（-3，12）或（5，12）或（，-4），使得四邊形BCQM為平行四邊形．

考點：二次函數綜合題．