Question

4．如圖，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC內部的一個動點，且滿足∠PAB=∠PBC，則線段CP長的最小值為2．

Answer 1

分析 首先證明點P在以AB為直徑的⊙O上，連接OC與⊙O交于點P，此時PC最小，利用勾股定理求出OC即可解決問題．

解答 解：∵∠ABC=90°，
∴∠ABP+∠PBC=90°，
∵∠PAB=∠PBC
∴∠BAP+∠ABP=90°，
∴∠APB=90°，
∴點P在以AB為直徑的⊙O上，連接OC交⊙O于點P，此時PC最小，
在RT△BCO中，∵∠OBC=90°，BC=4，OB=3，
∴OC=$\sqrt{O{B}^{2}+B{C}^{2}}$=5，
∴PC=OC-OP=5-3=2． 
∴PC最小值為2． 
故答案為2．

點評 本題考查點與圓位置關系、圓周角定理、最短問題等知識，解題的關鍵是確定點P位置，學會求圓外一點到圓的最小、最大距離，屬于中考常考題型．