Question

18．已知：點O到△ABC的兩邊AB，AC所在直線的距離相等，且OB=OC．
（1）如圖1，若點O在邊BC上，過點O分別作OE⊥AB，OF⊥AC，E，F分別是垂足．求證：△OEB≌△OFC；
（2）如圖2，若點O在△ABC的內部，求證：AB=AC；
（3）若點O在△ABC的外部，AB=AC成立嗎？請畫圖表示．

Answer 1

分析 （1）由HL證明Rt△OEB≌Rt△OFC，即可得出結論；
（2）過點O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，則OE=OF，∠OEB=∠OFC=90°，由HL證明Rt△BOE≌Rt△COF，得出∠EBO=∠FCO，再由OB=OC，得出∠OBC=∠OCB，∠ABC=∠ACB，即可得出結論；
（3）不一定成立，①過點O作OE⊥AB的延長線于點E，作OF⊥AC的延長線于點F時，則OE=OF，∠OEB=∠OFC=90°，由HL證明Rt△BOE≌Rt△COF，得出∠DEO=∠FCO，
再由OB=OC，得出∠OBC=∠OCB，∠EBC=∠FCB，∠ABC=∠ACB，即可得出AB=AC成立；②過點O作OE⊥AB于點E，作OF⊥AC的延長線于點F時，連接OA，則OE=OF，由HL證明Rt△AOE≌Rt△AOF（HL），得出AD=AE，故AB=AC不成立．

解答 （1）證明：在Rt△OEB和Rt△OFC中，$\left\{\begin{array}{l}{OE=OF}\\{OB=OC}\end{array}\right.$，
∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），
∴△OEB≌△OFC；
（2）證明：過點O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，如圖1所示：
則OE=OF，∠OEB=∠OFC=90°
在Rt△BOE和Rt△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{OE=OF}\\{OB=OC}\end{array}\right.$，
∴Rt△BOE≌Rt△COF（HL），
∴∠EBO=∠FCO，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC；
（3）解：不一定成立，理由如下：
分兩種情況：
①過點O作OE⊥AB的延長線于點E，作OF⊥AC的延長線于點F，如圖2所示：
則OE=OF，∠OEB=∠OFC=90°，
在Rt△BOE和Rt△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{OE=OF}\\{OB=OC}\end{array}\right.$，
∴Rt△BOE≌Rt△COF（HL），
∴∠DEO=∠FCO
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠EBC=∠FCB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC；
②過點O作OE⊥AB于點E，作OF⊥AC的延長線于點F，連接OA，如圖3所示：
則OE=OF，
在Rt△AOE和Rt△AOF中，
$\left\{\begin{array}{l}{OE=OF}\\{OB=OC}\end{array}\right.$，
∴Rt△AOE≌Rt△AOF（HL），
∴AD=AE，
∴AB＞AC．

點評 此題考查了等腰三角形的判定與性質、直角三角形全等的判定與性質；證明三角形全等是解決問題的關鍵，本題有一定難度，特別是（3）中，需要進行分類討論才能得出結論．