Question

2．已知，△ABC和△A₁B₁C₁均為正三角形，BC和B₁C₁的中點均為D，如圖1．
（1）當△A₁B₁C₁繞點D旋轉到△A₂B₂C₂時，試判斷AA₂與CC₂的位置關系，并證明你的結論．
（2）如果當△A₁B₁C₁繞點D旋轉一周，頂點A₁和AC僅有一個交點，設該交點為A₃，如圖3．當AB=4時，求多邊形ABDC₃C的面積．

Answer 1

分析 （1）利用等邊三角形的性質以及結合相似三角形的判定與性質得出得∠A₂AD=∠C₂CD，進而得出∠ADE=∠CFE=90°，即可得出答案；
（2）首先連接A₃D，過C₃作C₃G⊥BC于G，進而得出C₃C，C₃G的長，進而利用多邊形ABDC₃C的面積=S_△ABC+S_△CC3D，求出答案．

解答 解：（1）AA₂⊥CC₂
理由：在圖2中，連接AD、A₂D、延長AA₂交BC于E，交CC₂于F，
∵BC和B₁C₁的中點均為D，△A₁B₁C₁繞點D旋轉到△A₂B₂C₂，
∴∠ADA₂=90°-∠A₂DC=∠CDC₂，$\frac{AD}{{D{A_2}}}=\frac{DC}{{D{C_2}}}$，（等邊三角形都相似，相似三角形對應高的比等于相似比），
∴△AA₂D∽△CC₂D，
于是得∠A₂AD=∠C₂CD，
又∵∠AED=∠CEF，
∴∠ADE=∠CFE=90°，
∴AA₂⊥CC₂；

（2）在圖3中，連接A₃D，過C₃作C₃G⊥BC于G，由（1）得AC⊥CC₃，
由題意得A₃D⊥AC，四邊形A₃CC₃D是矩形，
則C₃C=A₃D=2sin60°=$\sqrt{3}$，
C₃G=$\sqrt{3}$sin（90°-60°）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故多邊形ABDC₃C的面積=S_△ABC+S_△CC3D=$\frac{1}{2}$×4×4sin60°+$\frac{1}{2}$×2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{{9\sqrt{3}}}{2}$．

點評 此題主要考查了幾何變換以及相似三角形的判定與性質和解直角三角形的應用，正確利用相似三角形的判定與性質是解題關鍵．