Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對角線BD（不含B點）上任意一點，將BM繞點B逆時針旋轉60°得到BN，連接EN、AM、CM，

（1）求證：△AMB≌△ENB；

（2）當M點在何處時，AM +CM的值最小，并說明理由；

（3）當M點在何處時，AM +BM +CM的值最小，并說明理由；

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）當M點落在BD的中點時，A、M、C三點共線時，AM+CM的值最小；（3）當M點位于BD與CE的交點處時，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的長.

【解析】

（1）由題意得MB=NB，∠ABN=15°，所以∠EBN=45°，容易證出△AMB≌△ENB；
（2）根據“兩點之間線段最短”，可得，當M點落在BD的中點時，AM+CM的值最小；
（3）根據“兩點之間線段最短”，當M點位于BD與CE的交點處時，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的長（如圖）；

解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，

∴AB＝BC＝BE，∠ABE＝60°，

∵將BM繞點B逆時針旋轉60°得到BN，

∴BN＝BM，∠MBN＝60°，

∴∠ABE＝∠MBN，

∴∠EBN＝∠ABM，且AB＝BE，MB＝NB，

∴△AMB≌△ENB（SAS）；

(2)當M點落在BD的中點時，A、M、C三點共線時，AM+CM的值最小；

(3)如圖1，連接CE，當M點位于BD與CE的交點處時，AM+BM+CM的值最小，

理由如下：連接MN，

由（1）知，△AMB≌△ENB，

∴AM＝EN，

∵∠MBN＝60°，MB＝NB，

∴△BMN是等邊三角形，

∴BM＝MN，

∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM，

根據“兩點之間線段最短”，得EN+MN+CM＝EC最短，

∴當M點位于BD與CE的交點處時，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的長.