Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長為4，延長CB至E使EB＝2，以EB為邊在上方作正方形EFGB，延長FG交DC于M，連接AM，AF，H為AD的中點，連接FH分別與AB，AM交于點N、K：則下列結論：①△ANH≌△GNF；②∠AFN＝∠HFG；③FN＝2NK；④：＝1：4．其中正確的結論有（　）

A.1個B.2個C.3個D.4個

Answer 1

【答案】C

【解析】

由正方形的性質得到FG=BE=2，∠FGB=90°，AD=4，AH=2，∠BAD=90°，求得∠HAN=∠FGN，AH=FG，根據全等三角形的定理定理得到△ANH≌△GNF（AAS），故①正確；根據全等三角形的性質得到∠AHN=∠HFG，推出∠AFH≠∠AHF，得到∠AFN≠∠HFG，故②錯誤；根據全等三角形的性質得到AN=AG=1，根據相似三角形的性質得到∠AHN=∠AMG，根據平行線的性質得到∠HAK=∠AMG，根據直角三角形的性質得到FN=2NK；故③正確；根據矩形的性質得到DM=AG=2，根據三角形的面積公式即可得到結論．

∵四邊形EFGB是正方形，EB=2，
∴FG=BE=2，∠FGB=90°，
∵四邊形ABCD是正方形，H為AD的中點，
∴AD=4，AH=2，
∠BAD=90°，
∴∠HAN=∠FGN，AH=FG，
∵∠ANH=∠GNF，
∴△ANH≌△GNF（AAS），故①正確；
∴∠AHN=∠HFG，
∵AG=FG=2=AH，
∴AF=FG=AH，
∴∠AFH≠∠AHF，

∴∠AFN≠∠HFG，故②錯誤；
∵△ANH≌△GNF，
∴AN=AG=1，
∵GM=BC=4，
∴=2，
∵∠HAN=∠AGM=90°，
∴△AHN∽△GMA，
∴∠AHN=∠AMG，
∵AD∥GM，
∴∠HAK=∠AMG，
∴∠AHK=∠HAK，
∴AK=HK，
∴AK=HK=NK，
∵FN=HN，
∴FN=2NK；故③正確；
∵延長FG交DC于M，
∴四邊形ADMG是矩形，
∴DM=AG=2，
∵S△AFN=ANFG=×2×1=1，S△ADM=ADDM=×4×2=4，
∴S△AFN：S△ADM=1：4故④正確，
故選：C．