Question

1．拋物線y=-x²+2x+3與x軸相交與A、B兩點，與y軸相交于C，頂點D
（1）直接寫出三A、B、C點的坐標和拋物線的對稱軸．
（2）連接BC與拋物線的對稱軸交與E點，P為線段BE上一點，過點P作直線PF平行于y軸交拋物線于點F，設P點的橫坐標為m．
①用含m的代數式表示線段PF的長，并求出當m為何值時，以點P、E、D、F為頂點的四邊形為平行四邊形．
②在①的條件下，求△BCF的面積．

Answer 1

分析 （1）根據坐標軸上點的特點確定出點A，B，C的坐標，根據拋物線對稱軸的公式確定出拋物線對稱軸；
（2）①先表示出P，F的坐標，即可得出PF的長，再根據平行四邊形的性質得出PF=DE求出m；
②由①知PF=2，再根據三角形的面積公式即可得出結論．

解答 解：（1）令x=0，
∴y=3，
∴C（0，3）；令y=0，得0=-x²+2x+3，
∴x=-1或x=3，
∴A（-1，0），B（3，0），
拋物線的對稱軸x=-$\frac{2a}$=1，
（2）①設直線BC的解析式為y=kx+b，
由（1）知，B（3，0），C（0，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為：y=-x+3
如圖1，∵P點的橫坐標為m，
∴P（m，-m+3），F（m，-m²+2m+3）
∴PF=-m²+2m+3-（-m+3）=-m²+3m，
∵拋物線的對稱軸為x=1，
∴E（1，2），
∵拋物線y=-x²+2x+3的頂點為D，
∴D（1，4），
∴DE=2，
∵以點P、E、D、F為頂點的四邊形為平行四邊形，
∴PF=DE，
∴-m²+3m=2
∴m=2或m=1（不符合題意，舍）
∴當m=2時，四邊形PEDF是平行四邊形，
②如圖2，由①知，F（2，3），PF=DE=2，
∴S_△BCF=S_△FPC+S_△FPB
=$\frac{1}{2}$PF•|x_P|+$\frac{1}{2}$PF•|x_B-x_F
|=$\frac{1}{2}$FP•（|x_P|+|x_B-x_F|）
=$\frac{1}{2}$×2×（2+1）=3．

點評 此題是二次函數綜合題，主要考查了待定系數法，平行四邊形的性質，三角形的面積公式，解本題的關鍵是求出直線BC的解析式．