Question

如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以AB為直徑的⊙O交BＣ于點D，交AC于點，連結DE，過點B作BP平行于DE，交⊙O于點P，連結EP、CP、OP．
（1）(3分)BD＝DC嗎？說明理由；
（2）(3分)求∠BOP的度數；
（3）(3分)求證：CP是⊙O的切線；
如果你解答這個問題有困難，可以參考如下信息：
為了解答這個問題，小明和小強做了認真的探究，然后分別用不同的思路完成了這個題目．在進行小組交流的時候，小明說：“設OP交AC于點G，證△AOG∽△CPG”；小強說：“過點C作CH⊥AB于點H，證四邊形CHOP是矩形”．

Answer 1

（1）BD=DC。理由見解析（2）90°（3）證明見解析

解：（1）BD=DC。理由如下：連接AD，
∵AB是直徑，∴∠ADB=90°。
∵AB=AC，∴BD=DC。
（2）∵AD是等腰△ABC底邊上的中線，
∴∠BAD=∠CAD 。∴。
∴BD=DE。
∴BD=DE=DC。∴∠DEC=∠DCE。
∵△ABC中，AB=AC，∠A=30°，
∴∠DCE=∠ABC= (180°－30°)=75°。∴∠DEC=75°。
∴∠EDC=180°－75°－75°=30°。
∵BP∥DE，∴∠PBC=∠EDC=30°。
∴∠ABP=∠ABC－∠PBC=75°－30°=45°。
∵OB=OP，∴∠OBP=∠OPB=45°。∴∠BOP=90°。
（3）設OP交AC于點G，則∠AOG=∠BOP =90°。
在Rt△AOG中，∵∠OAG=30°，∴。
又∵，∴。∴。
又∵∠AGO=∠CGP，∴△AOG∽△CPG。
∴∠GPC=∠AOG=90°。∴CP是⊙的切線。
（1）連接AD，由圓周角定理可知∠ADB=90°，再由AB=AC可知△ABC是等腰三角形，故BD=DC。
（2）由于AD是等腰三角形ABC底邊上的中線，所以∠BAD=∠CAD，故，從而可得出BD=DE，故BD=DE=DC，所以∠DEC=∠DCE，△ABC中由等腰三角形的性質可得出∠ABC=75°，故∠DEC=75°由三角形內角和定理得出∠EDC的度數，再根據BP∥DE可知∠PBC=∠EDC=30°，進而得出∠ABP的度數，再由OB=OP，可知∠OBP=∠OPB，由三角形內角和定理即可得出∠BOP=90°。
（3）設OP交AC于點G，由∠BOP=90°可知∠AOG=90°在Rt△AOG中，由∠OAG=30°，可知，由得， ，由∠AGO=∠CGP可得出△AOG∽△CPG，由相似三角形形的性質可知∠GPC=∠AOG=90°，故可得出CP是⊙O的切線。