Question

15．小明同學在研究如何在△ABC內做一個面積最大的正方形時，想到了可以利用位似知識解決這個問題，他的做法是：（如圖1）先在△ABC內作一個小正方形DEFG，使得頂點D落在邊AB上，頂點E、F落在邊BC上，然后連接BG并延長交AC邊于點H，作HK⊥BC，HI∥BC，再作IJ⊥BC于J，則正方形HIJK就是所作的面積最大的正方形．
（1）若△ABC中，AB=4，∠ABC=60°，∠ACB=45°，請求出小明所作的面積最大的正方形的邊長．
（2）拓展運用：
如圖2，已知∠BAC，在角的內部有一點P，請畫一個⊙M，使得⊙M經過點P，且與AB、AC都相切．
（注：并簡要說明畫法）

Answer 1

分析 （1）如圖1中，作AM⊥BC于M，交IH于N，設正方形邊長為x．由IH∥BC，得$\frac{AN}{AM}$=$\frac{IH}{BC}$列出方程即可解決問題．
（2）利用位似知識，找到圓心M即可解決問題．

解答 解：（1）如圖1中，作AM⊥BC于M，交IH于N，設正方形邊長為x．

在RT△ABM中，∵∠AMB=90°，∠B=60°，AB=4，
∴BM=2，AM=2$\sqrt{3}$，
∵∠C=∠MAC=45°，
∴AM=MC=2$\sqrt{3}$，
∴BC=2+2$\sqrt{3}$
∵IH∥BC，
∴$\frac{AN}{AM}$=$\frac{IH}{BC}$，
∴$\frac{2\sqrt{3}-x}{2\sqrt{3}}$=$\frac{x}{2+2\sqrt{3}}$，
∴x=$\frac{6+10\sqrt{3}}{11}$
∴小明所作的面積最大的正方形的邊長為$\frac{6+10\sqrt{3}}{11}$．

（2）如圖2中，

①作∠BAC的平分線AQ，
②在AQ上取一點O，作⊙O和AB、AC相切，
③連接AP交⊙O于E、F．
④作PM₁∥OE交AQ于M₁，
⑤以M₁為圓心PM₁為半徑作⊙M₁，
⊙M₁即為所求．
同法，作PM₂∥OF，交AQ于M₂，
⊙M₂即為所求．

點評 本題考查位似變換、正方形的性質、相似三角形的性質等知識，解題的關鍵是靈活應用這些知識解決問題，屬于中考常考題型．