Question

3．【探究函數y=x+$\frac{9}{x}$的圖象與性質】
（1）函數y=x+$\frac{9}{x}$的自變量x的取值范圍是x≠0；
（2）下列四個函數圖象中，函數y=x+$\frac{9}{x}$的圖象大致是C；

（3）對于函數y=x+$\frac{9}{x}$，求當x＞0時，y的取值范圍．
請將下面求解此問題的過程補充完整：
解：∵x＞0
??∴y=x+$\frac{9}{x}$
=（$\sqrt{x}$）²+（$\frac{3}{\sqrt{x}}$）²
=（$\sqrt{x}$-$\frac{3}{\sqrt{x}}$）²+6
∵（$\sqrt{x}$-$\frac{3}{\sqrt{x}}$）²≥0，
?∴y≥6．
【拓展運用】
（4）若函數y=$\frac{{{x^2}-5x+9}}{x}$，則y的取值范圍是y≤-11或y≥1．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{9}{x}$中x≠0，即可得出函數y=x+$\frac{9}{x}$的自變量x的取值范圍；
（2）由x≠0可排除A選項，再由y與x同號，可知函數y=x+$\frac{9}{x}$的圖象在第一、三象限，由此即可得出結論；
（3）根據用配方法求y值的范圍的過程補充完整解題過程，即可得出結論；
（4）將y=$\frac{{x}^{2}-5x+9}{x}$變成y=x+$\frac{9}{x}$-5，由（3）的結論可得出y=x+$\frac{9}{x}$中y的取值范圍為y≤-6或y≥6，在此基礎上減去5即可得出結論．

解答 解：（1）∵在y=x+$\frac{9}{x}$中，x≠0，
∴x的取值范圍是x≠0．
故答案為：x≠0．
（2）∵x≠0，
∴A中圖象不符合題意；
∵當x＞0時，x+$\frac{9}{x}$＞0，
當x＜0時，x+$\frac{9}{x}$＜0，
∴函數y=x+$\frac{9}{x}$的圖象在第一、三象限，
∴B、D中圖象不符合題意，
故選C．
（3）解：∵x＞0，
∴y=x+$\frac{9}{x}$，
=（$\sqrt{x}$）²+（$\frac{3}{\sqrt{x}}$）²，
=（$\sqrt{x}$-$\frac{3}{\sqrt{x}}$）²+6，
∵（$\sqrt{x}$-$\frac{3}{\sqrt{x}}$）²≥0，
∴y≥6．
故答案為：6；≥6．
（4）y=$\frac{{x}^{2}-5x+9}{x}$=x+$\frac{9}{x}$-5．
由（3）可知：當x＞0時，x+$\frac{9}{x}$≥6；
當x＜0時，x+$\frac{9}{x}$≤-6．
∴y=x+$\frac{9}{x}$-5≥6-5=1，y=x+$\frac{9}{x}$-5≤-6-5=-11．
y的取值范圍是y≤-11或y≥1．
故答案為：y≤-11或y≥1．

點評 本題考查了反比例函數的綜合題以及分式的性質，解題的關鍵是：（1）根據分式的分母不為0得出x的取值范圍；（2）組合函數的圖象；（3）利用配方法求出y值取值范圍；（4）不等式的運算．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，利用配方法求出y=x+$\frac{9}{x}$中y的取值范圍是關鍵．