Question

已知x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，c≠0）的兩個實數根，且

x1

x2

=

m

n

（m≠0，n≠0）．
（1）試求用m和n表示

b2

ac

的式子；
（2）是否存在實數m和n，滿足

x1

x2

=

m

n

使

b2

ac

=

6

5

成立？若存在，求出m和n的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由一元二次方程的根與系數的關系得到x₁+x₂=-

b

a

①，x₁x₂=

c

a

②，由已知

x1

x2

=

m

n

變形后代入①②，聯立方程，消去x，就可得到

b2

ac

值．
（2）由于

(m+n)2

mn

=

6

5

成立，設出適當的參數，建立關于以m+n和mn為兩根的新的一元二次方程，求得其△的符號后，來判定根的情況后，決定是否存在m，n的值．

解答：解：（1）由題意得，x₁+x₂=-

b

a

①，x₁x₂=

c

a

②．
由

x1

x2

=

m

n

，得x₁=

m

n

x₂③．
把③代入①，得x₂=-

bn

a(m+n)

．
把③代入②得x²₂=

nc

am

．
消去x₂，得

b2

ac

=

(m+n)2

mn

．

（2）若

(m+n)2

mn

=

6

5

成立，
設（m+n）²=6k，mn=5k（k＞0）．
則m+n=±

6k

，mn=5k．
若m，n存在，應是方程x²±

6k

z+5k=0的根．
∵△=（±

6k

）²-20k=-14k＜0（k＞0）．
∴m、n不存在．

點評：解答此題要知道一元二次方程根的情況與判別式△的關系和一元二次方程根與系數的關系：
（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數根；
（2）△=0?方程有兩個相等的實數根；
（3）△＜0?方程沒有實數根；
（4）x₁+x₂=-

b

a

；
（5）x₁•x₂=

c

a

．