Question

15．AB為⊙O的弦，點C在⊙O上，CD⊥AB于點D，點E為弧AB的中點，連接CE，OC．
（1）求證：CE平分∠OCD；
（2）連接AC，點E關于直線AC的對稱點為點M，連接EM，分別交⊙O、AC于點H、K，連接CM交⊙O于點N，延長CD交⊙O于點G，連接EG、AM．求證：AH=EG；
（3）在（2）的條件下，取CE中點L，連接OL、HN，BC，OL=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，BC=15，CK=16，求線段HN的長．

Answer 1

分析 （1）如圖連接OE．由$\widehat{AE}$=$\widehat{BE}$，推出OE⊥AB，由CD⊥AB，推出CD∥OE，推出∠E=∠DCE，由OE=OC，推出∠E=∠ECO，推出∠ECD=∠ECO，即可解決問題．
（2）延長CO交⊙O于P，連接AP、AE、OE．首先證明AP∥EK，推出∠PAE=∠AEK，由∠PAE=∠PCE，∠PCE=∠ECG，推出∠AEH=∠CEG，推出$\widehat{AH}$=$\widehat{EG}$，推出AH=EG即可．
（3）連接BC、PA、PE、AE、EB、CH，作PF⊥EM于F，EJ⊥CB交CB的延長線于J．首先證明HN=AP=KF，想辦法證明AK=PF=BJ=1，利用勾股定理求出EF=KH=2，由△AKH∽△EKC，得到AK•KC=HK•KE，設HN=AP=KF=x，可得方程1×16=2（x+2），解得x=6，延長即可解決問題．

解答 （1）證明：如圖連接OE．

∵$\widehat{AE}$=$\widehat{BE}$，
∴OE⊥AB，∵CD⊥AB，
∴CD∥OE，
∴∠E=∠DCE，
∵OE=OC，
∴∠E=∠ECO，
∴∠ECD=∠ECO，
∴EC平分∠OCD．

（2）證明：延長CO交⊙O于P，連接AP、AE、OE．

∵PC是直徑，
∴∠CAP=90°，
∵E、M關于AC對稱，
∴AC⊥EM，
∴∠CKE=∠CAP=90°，
∴PA∥KE，
∴∠PAE=∠AEK，
∵∠PAE=∠PCE，∠PCE=∠ECG，
∴∠AEH=∠CEG，
∴$\widehat{AH}$=$\widehat{EG}$，
∴AH=EG．

（3）解：連接BC、PA、PE、AE、EB、CH，作PF⊥EM于F，EJ⊥CB交CB的延長線于J．

∵E、M關于AC對稱，
∴∠MCA=∠ECA，∵∠HCA=∠PCE，
∴∠ACP=∠HCN，
∴$\widehat{NH}$=$\widehat{AP}$，
∴HN=PA，設AP=HN=x，易知四邊形AKFP是矩形，
∴AK=PF，AP=KF=x，
∵AH=PE，AK=PF，
∴Rt△AKH≌Rt△PFE，
∴HK=PE，
∵EC=EC，∠ECK=∠ECJ，∠CKE=∠EJC=90°，
∴△CEK≌△CEJ，
∴CK=CJ=16，EK=EJ，
∵AE=EB，
∴Rt△EKA≌Rt△EJB，
∴AK=BJ=PF=CJ-BC=16-15=1，
∵CO=OP，CL=LE，
∴PE=2OL=$\sqrt{5}$，
在Rt△PFE中，HK=EF=$\sqrt{P{E}^{2}-P{F}^{2}}$=2，
由△AKH∽△EKC，得到AK•KC=HK•KE，
∴1×16=2（x+2），
∴x=6，
∴HN=PA=6．

點評 本題考查圓綜合題、軸對稱變換、全等三角形的判定和性質、相似三角形的判定和性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加輔助線，構造全等三角形解決問題，本題比較難，多次應用三角形全等解決問題，屬于中考壓軸題．