Question

6．如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，Rt△ABC的斜邊在x軸的正半軸上，點A與原點重合．隨著頂點A由O點出發沿y軸的正半軸方向滑動，點B也沿著x軸向點O滑動，直到與點O重合時運動結束．在這個運動過程中．
（1）AB中點P經過的路徑長$\frac{5}{2}$π．
（2）點C運動的路徑長是6．

Answer 1

分析 （1）根據直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，確定中點P的運動路徑：以O為圓心，以OP為半徑的$\frac{1}{4}$圓弧，半徑OP=$\frac{1}{2}$AB=5，代入周長公式計算即可；
（2）分為兩種情況：
①當A從O到現在的點A處時，如圖2，此時C′A⊥y軸，點C運動的路徑長是CC′的長；
②當A再繼續向上移動，直到點B與O重合時，如圖3，此時點C運動的路徑是從C′到C，長是CC′；
分別計算并相加．

解答 解：（1）如圖1，∵∠AOB=90°，P為AB的中點，
∴OP=$\frac{1}{2}$AB，
∵AB=10，
∴OP=5，
∴AB中點P運動的軌跡是以O為圓心，以OP為半徑的$\frac{1}{4}$圓弧，
即AB中點P經過的路徑長=$\frac{1}{4}$×2×5π=$\frac{5}{2}$π；
（2）①當A從O到現在的點A處時，如圖2，此時C′A⊥y軸，
點C運動的路徑長是CC′的長，
∴AC′=OC=8，
∵AC′∥OB，
∴∠AC′O=∠COB，
∴cos∠AC′O=cos∠COB=$\frac{OC}{OB}=\frac{AC′}{OC′}$，
∴$\frac{8}{10}=\frac{8}{OC′}$，
∴OC′=10，
∴CC′=10-8=2；
②當A再繼續向上移動，直到點B與O重合時，如圖3，
此時點C運動的路徑是從C′到C，長是CC′，
CC′=OC′-BC=10-6=4，
綜上所述，點C運動的路徑長是：4+2=6；
故答案為：（1）$\frac{5}{2}π$；  （2）6．

點評 本題考查軌跡問題、直角三角形等知識，解題的關鍵是學會利用特殊位置解決問題，有難度，并利用了數形結合的思想．