Question

定義：如圖1，點C在線段AB上，若滿足AC²=BC•AB，則稱點C為線段AB的黃金分割點．
如圖2，△ABC中，AB=AC=1，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于點D．
（1）求證：點D是線段AC的黃金分割點；
（2）求出線段AD的長．

Answer 1

（1）∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠ABD=36°，∠BDC=72°，
∴AD=BD，BC=BD，
∴△ABC∽△BDC，
∴

BD

AB

=

CD

BC

，即

AD

AC

=

CD

AD

，
∴AD²=AC•CD．
∴點D是線段AC的黃金分割點．

（2）∵點D是線段AC的黃金分割點，
∴AD=

5 -1

2

AC，
∵AC=1，
∴AD=

5 -1

2

．