Question

11．如圖所示，“＜”型光滑長軌道固定在水平面內，電阻不計．軌道中間存在垂直水平面向下的勻強磁場，磁感應強度B．一根質量m．單位長度電阻R₀的金屬桿，與軌道成30°位置放置在軌道上，從靜止起在水平拉力作用下從軌道的左端O點出發，向右做加速度大小為a的勻加速直線運動，經過位移L，求：
（1）金屬桿前進L過程中流過金屬桿的電量；
（2）已知金屬桿前進L過程中水平拉力做功W，若改變水平拉力的大小，以2a大小的加速度重復上述前進L的過程，水平拉力做功多少？
（3）若改用水平恒力F由靜止起從軌道的左端O點拉動金屬桿，到金屬桿速度達到最大值v_m時產生熱量．（Fv_m已知量）

Answer 1

分析 （1）根據切割公式得到感應電動勢，根據歐姆定律得到感應電流的表達式，得到電流的平均值，從而求解電路；
（2）根據安培力公式、歐姆定律和切割公式得到安培力的表達式，根據動能定理和運動學公式分別列式后聯立求解；
（3）改用水平恒力F，導體棒做加速運動，最后是勻速運動，根據平衡條件、安培力公式、歐姆定律和切割公式列式后聯立求解得到最大速度，再根據動能定理列式求解即可．

解答 解：（1）設該位移為x時，切割磁感線桿長為l，由：E=Blv，R=lR₀，v=at，
則：I=$\frac{E}{R}=\frac{aB}{R_0}t$，得到I與t成正比關系．
由：x=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$，Q=$\overline{I}t$，得到：Q=$\frac{Bx}{{R}_{0}}$．
（2）由動能定理：${W_外}-{W_安}=\frac{1}{2}m{v^2}$，得加速度為a時，當位移為L時，
有W_安=W-ma•L，在加速度為2a時，與加速度為a時，位移為x，則桿長為l，則：
${F_{安2a}}=B{I'_{2a}}l=\frac{{{B^2}l}}{{l{R_0}}}{v_{2a}}=\frac{{{B^2}l}}{R_0}\sqrt{4ax}$，${F_{安a}}=BI{′_a}l=\frac{{{B^2}l}}{{l{R_0}}}{v_a}=\frac{{{B^2}l}}{R_0}\sqrt{2ax}$．
當位移量相等時，${F_{安2a}}=\sqrt{2}{F_{安a}}$，則有：總位移相等時${W'_安}=\sqrt{2}{W_安}=\sqrt{2}（W-maL）$；
由動能定理：${W'_外}-{W_安}=\frac{1}{2}m{（v'）^2}$，則：${{W'}_外}=\sqrt{2}W+（2-\sqrt{2}）maL$．
（3）若外力為恒力，則當速度達到最大時，加速度為零，則合力為零，即F_安=F，
又因為：${F_安}=2\sqrt{3}Bx\frac{{B{v_m}}}{R_0}$，得到：$\frac{{2\sqrt{3}{B^2}{v_m}}}{R_0}x=F$，則：$x=\frac{{F{R_0}}}{{2\sqrt{3}{B^2}{v_m}}}$；
由能量守恒可以得到：$Q=Fx-\frac{1}{2}mv_m^2=\frac{{{F^2}{R_0}}}{{2\sqrt{3}{B^2}{v_m}}}-\frac{1}{2}mv_m^2$．
答：（1）金屬桿前進L過程中流過金屬桿的電量為$\frac{Bx}{{R}_{0}}$；
（2）已知金屬桿前進L過程中水平拉力做功W，若改變水平拉力的大小，以2a大小的加速度重復上述前進L的過程，水平拉力做功$\sqrt{2}W+（2-\sqrt{2}）maL$；
（3）若改用水平恒力F由靜止起從軌道的左端O點拉動金屬桿，到金屬桿速度達到最大值v_m時產生熱量為$Fx-\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}=\frac{{F}^{2}{R}_{0}}{2\sqrt{3}{B}^{2}{v}_{m}}-\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}$．

點評 本題關鍵是明確導體棒的受力情況與運動情況，能夠結合動能定理、安培力公式、法拉第電磁感應定律多次列式求解，不太難．