Question

已知：二次函數（m為常數）．

（1）若這個二次函數的圖象與x軸只有一個公共點A，且A點在x軸的正半軸上．

     ①求m的值；

   ②四邊形AOBC是正方形，且點B在y軸的負半軸上，現將這個二次函數的圖象平移，使平移后的函數圖象恰好經過B，C兩點，求平移后的圖象對應的函數解析式；

（2） 當0≤≤2時，求函數的最小值（用含m的代數式表示）．

Answer 1

解：（1）①∵ 二次函數的圖象與x軸只有一個公共點A，

∴ ．

整理，得．

解得，，．

又點A在x軸的正半軸上，

∴ ．

∴ m=4．

②由①得點A的坐標為．

∵ 四邊形AOBC是正方形，點B在y軸的負半軸上，

∴ 點B的坐標為，點C的坐標為．

設平移后的圖象對應的函數解析式為(b，c為常數)．

∴  

解得

∴平移后的圖象對應的函數解析式為．

（２）函數的圖象是頂點為，且開口向上的拋物線．分三種情況：

(ⅰ)當，即時，函數在0≤≤2內y隨x的增大而增大，此時函數的最小值為；

(ⅱ)當0≤≤2，即0≤≤4時，函數的最小值為；

(ⅲ)當，即時，函數在0≤≤2內y隨x的增大而減小，此時函數的最小值為．

綜上，當時，函數的最小值為；

      當時，函數的最小值為；

      當時，函數的最小值為．