Question

12．已知：如圖，AB∥CD，AD∥BC，E、F分別在AB、CD上，DF=BE，AC與EF相交于點M，求證：AM=CM．

Answer 1

分析 首先證明△ACD≌△CAB，推出AB=CD，由DF=EB，推出FC=AE，再證明△CFM≌△AEM即可．

解答 證明：∵AB∥CD，AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA，∠DCA=∠BAC，
在△ACD和△CAB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAC=∠ACB}\\{AC=CA}\\{∠DCA=∠BAC}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△CAB，
∴AB=CD，
∵DF=EB，
∴FC=AE，
 在△CFM和△AEM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FMC=∠AME}\\{∠FCA=∠EAM}\\{CF=AE}\end{array}\right.$，
∴△CFM≌△AEM，
∴CM=AM．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質，平行線的性質等知識，解題的關鍵是用了兩次全等三角形的證明，屬于中考常考題型．