Question

如圖1，拋物線平移后過點A（8，,0）和原點，頂點為B，對稱軸與軸相交于點C，與原拋物線相交于點D．

（1）求平移后拋物線的解析式并直接寫出陰影部分的面積；

（2）如圖2，直線AB與軸相交于點P，點M為線段OA上一動點，為直角，邊MN與AP相交于點N，設，試探求：

  ①為何值時為等腰三角形；

  ②為何值時線段PN的長度最小，最小長度是多少．

Answer 1

【解析】（1）設平移后拋物線的解析式，

將點A（8，,0）代入，得.頂點B（4,3），

=OC×CB＝12.

（2）直線AB的解析式為，作NQ垂直于x軸于點Q，

①當MN＝AN時， N點的橫坐標為，縱坐標為，

由三角形NQM和三角形MOP相似可知,得，解得（舍去）.

當AM＝AN時，AN＝,由三角形ANQ和三角形APO相似可知,

MQ＝，由三角形NQM和三角形MOP相似可知得：，解得：

＝12（舍去）.

當MN＝MA時，故是鈍角，顯然不成立.

故.

②方法一：作PN的中點C，連接CM，則CM＝PC＝PＮ，

當CM垂直于x軸且M為OQ中點時PN最小，

此時＝3，證明如下：

假設＝3時M記為，C記為

若M不在處，即M在左側或右側，

若C在左側或者C在處，則CM一定大于,而PC卻小于，這與CM＝PC矛盾，

故C在右側，則PC大于,相應PN也會增大，

故若M不在處時 PN大于處的PN的值，

故當＝3時，MQ＝3, ,根據勾股定理可求出PM＝與MN＝,．

故當＝3時，PN取最小值為．

方法二：由所在直線方程為，與直線AB的解析式聯立，

得點N的橫坐標為，即，

由判別式，得或，又，

所以的最小值為6，此時＝3，

當＝3時，N的坐標為（6，），此時PN取最小值為．