Question

一位同學拿了兩塊三角尺，做了一個探究活動：將 的直角頂點放在的斜邊的中點處，設．

（1）如圖（1），兩三角尺的重疊部分為，則重疊部分的面積為        ，周長為        ．

（2）將圖（1）中的繞頂點逆時針旋轉，得到圖26（2），此時重疊部分的面積為            ，周長為            ．

（3）如果將繞旋轉到不同于圖（1）和圖（2）的圖形，如圖（3），請你猜想此時重疊部分的面積為           ．

（4）在圖（3）情況下，若，求出重疊部分圖形的周長．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）如圖（1），兩三角尺的重疊部分為，則重疊部分的面積為4，周長為4+2 ．

（2）將圖（1）中的繞頂點逆時針旋轉，得到圖（2），此時重疊部分的面積為   4   ，周長為   8    ．

（3）如果將繞旋轉到不同于圖（1）和圖（2）的圖形，如圖（3），請你猜想此時重疊部分的面積為  4  ．

（4）連結CM 證明△ADM≌△CGM （∠ADM=∠CGM，∠MCG=∠MAG=45⁰，AM=CM）

于是AD=CG ，DM=GM 所求L=CD+DM+MG+GC=AD+CD+2DM=4+2DM

過M做BC平行線 交AC于E點 即ME為△ABC中位線 ME=2 E為AC中點 所以AE=2

因為AD=1 所以DE=2-1=1 利用勾股定理RT△DME得到DM= 所以周長為4+2 

【解析】（1）由等腰直角三角形的性質：底邊上的中線與底邊上的高重合，得到△AMC是等腰直角三角形，AM=MC=AC，則重疊部分的面積是△ACB的面積的一半，即可求出答案；

（2）易得重疊部分是正方形，邊長為AC，面積為，周長為2AC．

（3）過點M分別作AC、BC的垂線MH、MG，垂足為H、G．求得Rt△MHE≌Rt△MGF，則陰影部分的面積等于正方形CGMH的面積．

（4）先過點M作ME⊥BC于點E，MF⊥AC于點F，根據∠DMF=∠GME，MF=ME，得出Rt△DFM≌Rt△GEM，從而得出GE=DF，CG=AD，最后根據AD和DF的值，算出DM=，即可得出答案．