Question

（1）分解下列因式，將結果直接寫在橫線上：
x²-6x+9=

（x-3）²

，25x²+10x+1=

（5x+1）²

，4x²+12x+9=

（2x+3）²

．
（2）觀察上述三個多項式的系數，有（-6）²=4×1×9，10²=4×25×1，12²=4×4×9，于是小明猜測：若多項式ax²+bx+c（a＞0）是完全平方式，那么系數a、b、c之間一定存在某種關系．請你用數學式子表示小明的猜想．

b²=4ac

（說明：如果你沒能猜出結果，就請你再寫出一個與（1）中不同的完全平方式，并寫出這個式中個系數之間的關系．）
（3）若多項式x²+ax+c和x²+cx+a都是完全平方式，利用（2）中的規律求ac的值．

Answer 1

分析：（1）利用完全平方公式分解因式即可；
（2）觀察上述三個等式，得到規律：若多項式ax²+bx+c（a＞0）是完全平方式，那么系數a、b、c之間關系為b²=4ac；
（3）利用（2）中得出的結論，列出關系式，整理后得到a=c，列出關于a的方程，求出方程的解得到a的值，即為c的值，即可求出ac的值．

解答：解：（1）x²-6x+9=（x-3）²，25x²+10x+1=（5x+1）²，4x²+12x+9=（2x+3）²；
（2）觀察得：若多項式ax²+bx+c（a＞0）是完全平方式，那么系數a、b、c之間關系為b²=4ac；
（3）∵多項式x²+ax+c和x²+cx+a都是完全平方式，
∴a²-4c=c²-4a=0，即a²-c²+4（a-c）=0，
分解因式得：（a-c）（a+c+4）=0，
由a+c+4≠0，可得a-c=0，即a=c，
可得a²-4a=0，即a（a-4）=0，
解得：a=0或a=4，即c=0或c=4，
則ac=0或16．
故答案為：（1）（x-3）²；（5x+1）²；（2x+3）²；（2）b²=4ac

點評：此題考查了完全平方式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵．