Question

（2013•徐匯區一模）如圖，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于點E，過點E作ED∥BC交AB于點D．
（1）求證：AE•BC=BD•AC；                  
（2）如果S_△ADE=3，S_△BDE=2，DE=6，求BC的長．

Answer 1

分析：（1）由BE平分∠ABC交AC于點E，ED∥BC，可證得BD=DE，△ADE∽△ABC，然后由相似三角形的對應邊成比例，證得AE•BC=BD•AC；
（2）根據三角形面積公式與S_△ADE=3，S_△BDE=2，可得AD：BD=3：2，然后由平行線分線段成比例定理，求得BC的長．

解答：（1）證明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE．…（1分）
∵DE∥BC，
∴∠DEB=∠CBE…（1分）
∴∠ABE=∠DEB．
∴BD=DE，…（1分）
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴

AE

AC

=

DE

BC

…（1分）
∴

AE

AC

=

BD

BC

，
∴AE•BC=BD•AC；…（1分）

（2）解：設△ABE中邊AB上的高為h．
∴

S△ADE

S△BDE

=

1 2 AD•h

1 2 BD•h

=

AD

BD

=

3

2

，…（2分）
∵DE∥BC，
∴

DE

BC

=

AD

AB

． …（1分）
∴

6

BC

=

3

5

，
∴BC=10． …（2分）

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、平行線分線段成比例定理以及等腰三角形的判定與性質．此題難度適中，注意掌握數形結合思想的應用．