Question

（2013•徐匯區一模）“數學迷”小楠通過從“特殊到一般”的過程，對倍角三角形（一個內角是另一個內角的2倍的三角形）進行研究．得出結論：如圖1，在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，如果∠A=2∠B，那么a²-b²=bc．
下面給出小楠對其中一種特殊情形的一種證明方法．
已知：如圖2，在△ABC中，∠A=90°，∠B=45°．
求證：a²-b²=bc．
證明：如圖2，延長CA到D，使得AD=AB．
∴∠D=∠ABD，
∵∠CAB=∠D+∠ABD=2∠D，∠CAB=90°
∴∠D=45°，∵∠ABC=45°，
∴∠D=∠ABC，又∠C=∠C
∴△ABC∽△BCD
∴

BC

CD

=

AC

BC

，即

a

b+c

=

b

a

∴a²-b²=bc
根據上述材料提供的信息，請你完成下列情形的證明（用不同于材料中的方法也可以）：
已知：如圖1，在△ABC中，∠A=2∠B．
求證：a²-b²=bc．

Answer 1

分析：首先延長CA到D，使得AD=AB，得出∠D=∠ABC，進而得出△ABC∽△BDC，進而利用相似三角形的性質得出答案．

解答：證明：延長CA到D，使得AD=AB，連接BD．
∴∠D=∠ABD，
∵∠CAB=∠D+∠ABD=2∠D，
∵∠CAB=2∠ABC，
∴∠D=∠ABC，又∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC，
∴

BC

CD

=

AC

BC

，即

a

b+c

=

b

a

，
∴a²-b²=bc．

點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質，正確作出輔助線得出△ABC∽△BDC是解題關鍵．