Question

2．如圖，已知拋物線C₁經(jīng)過(guò)A（-2，0），B（-3，3）及原點(diǎn)O，頂點(diǎn)為C．
（1）求拋物線C₁的函數(shù)表達(dá)式．
（2）拋物線C₂與拋物線C₁關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，求拋物線C₂的函數(shù)表達(dá)式．
（3）P是拋物線C₂上的第四象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足是M，是否存在點(diǎn)P，使得以P、M、A為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法直接求出拋物線C₁的解析式；
（2）先確定出拋物線C₁的頂點(diǎn)坐標(biāo)，利用關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱得出拋物線C₂的頂點(diǎn)C'的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可；
（3）先確定出∠BOC=90°，再分兩種情況用相似三角形得出的比例式建立方程求解即可．

解答 解：（1）∵拋物線C₁經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，
∴設(shè)拋物線C₁的函數(shù)表達(dá)式為y=ax²+bx，
∵拋物線C₁經(jīng)過(guò)A（-2，0），B（-3，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b=0}\\{9a-3b=3}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴拋物線C₁的函數(shù)表達(dá)式為y=x²+2x，

（2）如圖1，由（1）知，拋物線C₁的函數(shù)表達(dá)式為y=x²+2x=（x+1）²-1，
∴拋物線C₁的頂點(diǎn)C（-1，-1），
∴點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)C'（1，1），
∵拋物線C₂與拋物線C₁關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，
∴拋物線C₂的頂點(diǎn)坐標(biāo)C'（1，1），
設(shè)拋物線C₂的函數(shù)表達(dá)式為y=a'（x-1）²+1，
∵拋物線C₁經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，
∴拋物線C₂也經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，
∴a'（1-0）²+1=0，
∴a'=-1，
∴拋物線C₂的函數(shù)表達(dá)式為y=-（x-1）²+1=-x²+2x；

（3）存在，
如圖2，由（2）知，拋物線C₁的頂點(diǎn)C（-1，-1），
∵B（-3，3），O（0，0），
∴OB²=18，OC²=2，BC²=20，
∴OB²+OC²=BC²，
∴△BOC是直角三角形，
∴∠BOC=90°，
∵PM⊥x軸，垂足是M，
∴∠PMA=90°，
由（2）知，y=-x²+2x；
∵P是拋物線C₂上的第四象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，
∴P（m，-m²+2m），
∵A（-2，0），
∴M（2，0），
∴m＞2，
∵PM⊥x軸于M，
∴M（m，0），PM=-（-m²+2m）=m²-2m，
∴AM=m+2，
∵以P、M、A為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似，
∴①當(dāng)△PMA∽△BOC時(shí)，
∴$\frac{PM}{OB}=\frac{AM}{OC}$，
∴$\frac{{m}^{2}-2m}{3\sqrt{2}}=\frac{m+2}{\sqrt{2}}$，
∴m=-1（舍）或m=6，
∴P（6，-24）；
②當(dāng)△AMP∽△BOC時(shí)，
∴$\frac{AM}{OB}=\frac{PM}{OC}$，
∴$\frac{m+2}{3\sqrt{2}}=\frac{{m}^{2}-2m}{\sqrt{2}}$，
∴m=$\frac{7-\sqrt{73}}{6}$（舍）或m=$\frac{7+\sqrt{73}}{6}$，
∴P（$\frac{7+\sqrt{73}}{6}$，$\frac{\sqrt{73}-19}{6}$），
即：存在點(diǎn)P，使得以P、M、A為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似，
點(diǎn)P的坐標(biāo)為（6，-24）或（$\frac{7+\sqrt{73}}{6}$，$\frac{\sqrt{73}-19}{6}$）．

點(diǎn)評(píng) 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)的確定，直角三角形的判斷，相似三角形的性質(zhì)，解（1）的關(guān)鍵是用待定系數(shù)法確定拋物線解析式，解（2）的關(guān)鍵是確定出拋物線C₂的頂點(diǎn)坐標(biāo)，解（3）的關(guān)鍵是得出∠BOC是直角；利用了方程的思想和分類討論的思想解決問(wèn)題．