Question

     反比例函數y＝ (k為常數,k≠0)的圖象是雙曲線.當k＞0時，雙曲線兩個分支分別在

一、三象限,在每一個象限內,y隨x的增大而減小（簡稱增減性）；反比例函數的圖象關于

   原點對稱（簡稱對稱性）．   

   這些我們熟悉的性質，可以通過說理得到嗎？

  【嘗試說理】

我們首先對反比例函數y＝（k＞0）的增減性來進行說理．

如圖，當x＞0時．

在函數圖象上任意取兩點A、B，設A(x₁，)，B(x₂，)，

且0＜x₁＜ x₂．

下面只需要比較和的大小．

—＝ ．

∵0＜x₁＜ x₂，∴x₁－x₂＜0，x₁ x₂＞0，且 k＞0．

∴＜0．即．

這說明：x₁＜ x₂時，．也就是：自變量值增大了，對應的函數值反而變小了．

即：當x＞0時，y隨x的增大而減小．

同理，當x＜0時，y隨x的增大而減小．

（1）試說明：反比例函數y＝  （k＞0）的圖象關于原點對稱．

   【運用推廣】

（2）分別寫出二次函數y＝ax² (a＞0，a為常數)的對稱性和增減性，并進行說理．

對稱性：                                            ；

增減性：                                             ．

說理：

（3）對于二次函數y＝ax²＋bx＋c (a＞0，a，b，c為常數)，請你從增減性的角度，簡要解釋為何當x＝— 時函數取得最小值．

Answer 1

  （1）在反比例函數y＝（k＞0）的圖象上任取一點P(m，n)，于是：mn＝k．

      那么點P關于原點的對稱點為P₁(－m，－n)．而(－m)(－n)＝mn＝k，

      這說明點P₁也必在這個反比例函數y＝的圖象上．

     所以反比例函數y＝  （k＞0）的圖象關于原點對稱．

（2）對稱性：二次函數y＝ax² (a＞0，a為常數)的圖象關于y軸成軸對稱．

     增減性：當x＞0時，y隨x增大而增大；當x＜0時，y隨x增大而減小．

     理由如下：

     ①在二次函數y＝ax² (a＞0，a為常數) 的圖象上任取一點Q(m，n)，于是n＝am²．

     那么點Q關于y軸的對稱點Q₁(－m，n)．而n＝a(－m)²，即n＝am²．

     這說明點Q₁也必在在二次函數y＝ax² (a＞0，a為常數) 的圖象上．

     ∴二次函數y＝ax² (a＞0，a為常數)的圖象關于y軸成軸對稱，

     ②在二次函數y＝ax² (a＞0,a為常數)的圖象上任取兩點A、B,設A(m，am²),

       B(n，an²) ，且0＜m＜n．

     則an²－am²＝a(n＋m)(n－m)

     ∵n＞m＞0，

     ∴n＋m＞0，n－m＞0；

     ∵a＞0，

     ∴an²－am²＝a(n＋m)(n－m)＞0．即an²＞am²．

    而當m＜n＜0時，

    n＋m＜0，n－m＞0；

    ∵a＞0，

    ∴an²－am²＝a(n＋m)(n－m)＜0．即an²＜am²．

    這說明，當x＞0時，y隨x增大而增大；當x＜0時，y隨x增大而減小．

    

（3）二次函數y＝ax²＋bx＋c (a＞0，a，b，c為常數) 的圖象可以由y＝ax²的圖象通過平

     移得到，關于直線x＝—對稱，當x＝—時，y＝．

     由（2），當x≥—時，y隨x增大而增大；也就是說，只要自變量x≥—，其對應

     的函數值y≥；而當x≤—時，y隨x增大而減小，也就是說，只要自變量x

     ≤—，其對應的函數值y≥．

綜上，對于二次函數y＝ax²＋bx＋c (a＞0，a，b，c為常數)，當x＝— 時取得最小值．