Question

如圖，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，D，E分別是邊BC，AB的中點，P是BC邊上的動點（不與B，C重合）．設BP=x．

（1）當x=6時，求PE的長；

（2）當△BPE是等腰三角形時，求x的值；

（3）當AD平分EP時，試判斷以EP為直徑的圓與直線AC的位置關系，并說明理由．

Answer 1

解：（1）∵AB=AC=10，BC=12，D為邊BC的中點，

∴BD=CD=6，AD⊥BC，

∴當x=6時，點P在D點處，

∴PE為Rt△ABD斜邊上的中線，

∴PE=AB=5；

（2）∵點E為AB的中點，

∴BE=5，

當BP=BE=5，則x=5；

當EP=EB，作EM⊥BD于M，如圖1，則BM=PM，

∵點E為AB的中點，

而EM∥AD，

∴M點為BD的中點，

∴PB=BD=6，

∴x=6；

當PB=PE，如圖2，作PN⊥BE于N，則BN=EN=BE=，

∵∠PBN=∠DBA，

∴Rt△BPN∽Rt△BAP，

∴PB：AB=BN：BD，即x：10=：6，

∴x=，

綜上所述，當△BPE是等腰三角形時，x的值為5或6或；

（3）以EP為直徑的圓與直線AC相交．理由如下：

EP交AD于O，作OH⊥AC于H，EF⊥AD于F，如圖3，

在Rt△ABC中，AB=10，BD=6，

∴AD==8，

∵點E為AB的中點，

而EF∥BD，

∴EF為△ABD的中位線，

∴EF=BD=3，AF=DF=AD=4，

∵AD平分EP，

∴OE=OF，

在△OEF和△OPD中

，

∴△OEF≌△OPD，

∴OF=OD，

∴OF=DF=2，

∴AO=AF+OF=6，

在Rt△OEF中，EF=3，OF=2，

∴OE==，

∵∠OAH=∠CAD，

∴Rt△AOH∽Rt△ACD，

∴OH：CD=AO：AC，即OH：6=6：10，解得OH=，

∵OE===，OH===，

∴OE＞OH，

∴以EP為直徑的圓與直線AC相交．