Question

設函數y=x²-（2k+1）x+2k-4的圖象如圖所示，它與x軸交于A，B兩點，且線段OA與OB的長度之比為1：3，則k=    ．

Answer 1

【答案】分析：令函數解析式中y=0，得到關于x的一元二次方程，設A（a，0），B（b，0），可得出OA=-a，OB=b，可得出一元二次方程的兩個解為a與b，利用根與系數的關系表示出a+b與ab，由OA與OB的比值，得到b=-3a，代入表示出的a+b魚ab中計算，然后消去a得到關于k的方程，求出方程的解即可得到k的值．
解答：解：y=x²-（2k+1）x+2k-4，令y=0，得到x²-（2k+1）x+2k-4=0，
設A（a，0），B（b，0），
可得x²-（2k+1）x+2k-4=0的兩個解分別為a，b（a＜0，b＞0），
則有a+b=2k+1，ab=2k-4，
又線段OA與OB的長度之比為1：3，即-a：b=1：3，
∴b=-3a，
∴a-3a=2k+1，a•（-3a）=2k-4，即a=-（2k+1）=-k-①，-3a²=2k-4②，
①代入②消去a得：-3（-k-）²=2k-4，即12k²+20k-13=0，
分解因式得：（2k-1）（6k+13）=0，
解得：k=或k=-，
∵拋物線開口向上，且對稱軸在y軸右邊，
∴-（2k+1）＜0，即k＞-，故k=-舍去，
∴k=．
故答案為：
點評：此題考查了拋物線與x軸的交點，根與系數的關系，以及二次函數的性質，利用了數形結合及消元的數學思想，數形結合思想是數學中重要的解題思想，學生做題時要靈活運用．