Question

二次函數y=x²的圖象如圖所示，點A位于坐標原點，A₁，A₂，A₃，…，A₂₀₀₈在y軸的正半軸上，B₁，B₂，B₃，…，B₂₀₀₈在二次函數y=x²第一象限的圖象上，若△AB₁A₁，△A₁B₂A₂，△A₂B₃A₃，…，△A₂₀₀₇B₂₀₀₈A₂₀₀₈都為等邊三角形，請計算△AB₁A₁的邊長=    ；△A₁B₂A₂的邊長=    ；△A₂₀₀₇B₂₀₀₈A₂₀₀₈的邊長=    ．

Answer 1

【答案】分析：先計算出△AB₁A₁；△A₁B₂A₂；△A₂B₃A₂的邊長，推理出各邊長組成的數列各項之間的排列規律，依據規律得到△A₂₀₀₇B₂₀₀₈A₂₀₀₈的邊長．
解答：解：作B₁A⊥y軸于A，B₂B⊥y軸于B，B₃C⊥y軸于C．
設等邊△AB₁A₁、△A₁B₂A₂、△A₂B₃A₃中，AA₁=a，BA₂=b，CA₂=c．
①等邊△AB₁A₁中，AA=a，
所以B₁A=atan60°=a，代入解析式得×（a）²=a，解得a=0（舍去）或a=，于是等邊△AB₁A₁的邊長為×2=1；
②等邊△A₂B₂A₁中，A₁B=b，
所以BB₂=btan60°=b，B₂點坐標為（b，1+b）代入解析式得×（b）²=1+b，
解得b=-（舍去）或b=1，
于是等邊△A₂B₁A₁的邊長為1×2=2；
③等邊△A₂B₃A₃中，A₂C=c，
所以CB₃=btan60°=c，B₃點坐標為（c，3+c）代入解析式得×（c）²=3+c，
解得c=-1（舍去）或c=，
于是等邊△A₃B₃A₂的邊長為×2=3．
于是△A₂₀₀₇B₂₀₀₈A₂₀₀₈的邊長為2008．
點評：此題將二次函數和等邊三角形的性質結合在一起，是一道開放題，有利于培養同學們的探索發現意識．