Question

6．如圖，已知二次函數y=x²+bx+c的圖象與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點P，頂點為C（3，-16）．
（1）求此函數的關系式；
（2）作點C關于x軸的對稱點D，順次連接A，C，B，D．若在拋物線上存在點E，使直線PE將四邊形ABCD分成面積相等的兩個四邊形，求點E的坐標；
（3）在（2）的條件下，直線PE大于二次函數y=x²+bx+c的值，x的取值范圍；
（4）F為拋物線上的一個動點，記△ABF的面積為S，當S=16，求出相應的F點的坐標．

Answer 1

分析 （1）直接利用頂點式求出二次函數解析式即可；
（2）利用菱形的性質得出直線PE必過菱形ACBD的對稱中心M，進而求出直線PE的解析式，再利用聯立方程組求出答案；
（3）利用（2）中所求結合函數圖象得出答案；
（4）利用已知得出F點縱坐標，進而求出F點坐標．

解答 解：（1）∵二次函數y=x²+bx+c的頂點為C（3，-16），
∴二次函數解析式為：y=（x-3）²-16=x²-6x-7；

（2）如圖1，設直線PE對應的函數關系式為：y=kx+b，由題意可得，四邊形ACBD是菱形，
過直線PE必過菱形ACBD的對稱中心M，
將P（0，-7），M（3，0），代入y=kx+b得：
$\left\{\begin{array}{l}{b=-7}\\{3k+b=\frac{7}{3}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{7}{3}}\\{b=-7}\end{array}\right.$，
故直線PE的解析式為：y=$\frac{7}{3}$x-7，
從而聯立方程組：$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{7}{3}x-7}\\{y={x}^{2}-6x-7}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{25}{3}}\\{y=\frac{112}{9}}\end{array}\right.$，
根據題意可得：點E（$\frac{25}{3}$，$\frac{112}{9}$）；

（3）觀察圖象得：0＜x＜$\frac{25}{3}$時直線PE大于二次函數y=x²+bx+c的值；

（4）如圖2，假設存在這樣的點F，可設F（x，y），過點F作FG⊥x軸，垂足為點G，根據題意AB=8，
故S=$\frac{1}{2}$×|y|×8=16，
解得：y=±4，
當y=4時，x²-6x-7=4，
解得：x=3±2$\sqrt{5}$，
當y=-4時，x²-6x-7=-4，
解得：x=3±2$\sqrt{3}$；
∴F₁（3+2$\sqrt{5}$，4），F₂（3-2$\sqrt{5}$，4），F₃（3+2$\sqrt{3}$，-4），F₄（3-2$\sqrt{3}$，-4）．

點評 此題主要考查了頂點式求二次函數解析式以及函數交點求法和一元二次方程的解法等知識，注意數形結合的應用，根據題意得出F點縱坐標是解題關鍵．