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9.如圖,四邊形ABCD是矩形,AD=2AB,AB=6,E為AD中點,M為CD上的任意一點,PE⊥EM交BC于點P,EN平分∠PEM交BC于點N.
(1)若△PEN為等腰三角形,請直接寫出∠DEM所有可能的值;
(2)當DM=1時,求PN的值;
(3)過點P作PG⊥EN于點G,K為EM中點,連接DK、KG.當時,求DK+KG+GP的最小值和最大值.

分析 (1)根據△PEN為等腰三角形,分PE=PN,PE=EN,PN=EN三種情況求出∠DEM所有可能的值即可;
(2)如圖1,過E作EF⊥BC于F,連接MN,利用同角的余角相等得到一對角相等,再由一對直角相等,且夾邊相等,利用ASA得到三角形PEF與三角形MED全等,利用全等三角形對應邊相等得到PE=DM=1,EP=EM,再利用SAS得到三角形EPN與三角形EMN全等,利用全等三角形對應邊相等得到MN=PN,即可求出PN的長;
(3)如圖2,易知DK=$\frac{1}{2}$EM,PG=$\frac{EP}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$EM,連接GM,利用SAS得到三角形EPG與三角形PEG全等,利用全等三角形對應角相等,表示出GK,分別代入原式變形后,根據EM的范圍求出最大值與最小值即可.

解答 解:(1)若△PEN為等腰三角形,∠DEM所有可能的值為0°,22.5°,45°;
(2)如圖1,過E作EF⊥BC于F,連接MN,
∵EF⊥AD,PE⊥EM,
∴∠PEF+∠FEM=90°,∠FEM+∠DEM=90°,
∴∠PEF=∠MED,
∵AD=2AB,E為AD中點,且EF=AB,
∴EF=ED,
在△PEF和△MED中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠PEF=∠MED}\\{EF=ED}\\{∠EFP=∠D=90°}\end{array}\right.$,
∴△EPF≌△EMD(ASA),
∴PF=DM=1,EP=EM,
在△EPN和△EMN中,
$\left\{\begin{array}{l}{EP=EM}\\{∠PEN=∠MEN}\\{EN=EN}\end{array}\right.$,
∴△EPN≌△EMN(SAS),
∴MN=PN,
在△CMN中,由勾股定理有CN2+CM2=MN2,即(7-PN)2+52=PN2
解得:PN=$\frac{37}{7}$;
(3)如圖2,易知DK=$\frac{1}{2}$EM,PG=$\frac{EP}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$EM,
連接GM,
在△EMG和△EPG中,
$\left\{\begin{array}{l}{EP=EM}\\{∠PEG=∠MEG}\\{EG=EG}\end{array}\right.$,
∴△EMG≌△EPG(SAS),
∴∠EGM=∠EGP=90°,
∴GK=$\frac{1}{2}$EM,
∴DK+KG+GP=$\frac{1}{2}$EM+$\frac{1}{2}$EM+$\frac{\sqrt{2}}{2}$EM=(1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$)EM(6≤EM≤6$\sqrt{2}$),
則DK+KG+GP的最大值為6+6$\sqrt{2}$,最小值為6+3$\sqrt{2}$.

點評 此題屬于四邊形綜合題,涉及的知識有:矩形的性質,勾股定理,全等三角形的判定與性質,熟練掌握全等三角形的判定與性質是解本題的關鍵.

練習冊系列答案
相關習題

科目:初中數學 來源: 題型:解答題

2.如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,BC=2AD,過點A作AE∥DC交BC于點E.
(1)寫出圖中所有與$\overrightarrow{AD}$互為相反向量的向量:$\overrightarrow{DA}$,$\overrightarrow{CE}$,$\overrightarrow{EB}$;
(2)求作:$\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AE}$、$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}$.(保留作圖痕跡,寫出結果,不要求寫作法)

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科目:初中數學 來源: 題型:解答題

3.閱讀下列材料:
2016年6月24日,以“共赴百合之約•夢圓世園延慶”為主題的第二屆北京百合文化節在延慶區世界葡萄博覽園拉開帷幕,本屆百合文化節突出了2019年世界園藝博覽會元素,打造“一軸、四片區、五主景”的百合主題公園,為市民呈現百合的饕餮盛宴.
據介紹,四片區的花海景觀是由“麗花秀”、“畫卷”、“媯河謠”和“水云天”組成.設置在科普館的“麗花秀”,借鑒西班牙的鑲嵌藝術,利用小麗花打造大型立體景觀.這里種植的小麗花的株數比2015年增加了10%;設置在葡萄盆栽區的“畫卷”,由9個模塊組成一幅壯觀的“畫卷”,這里種植了40萬株的葡萄,有1014個世界名優新品.設置在主題餐廳東側的“媯河謠”,利用流淌的線條,營造令人震撼的百合花溪;這里的百合有240個品種,種植達到220萬株,比2015年多了70萬株.設置在科普館東側的“水云天”,設計體現了“水天交融”的流暢曲線美,種植的50萬株向日葵花與100畝紫色的薰衣草交相輝映,仿佛美麗的畫廊.
據主辦方介紹,2015年第一屆百合文化節,種植的百合有230多個品種,種植小麗花18萬株;葡萄品種總數達600多種,種植了30萬株; 向日葵花也達到了25萬株.
根據以上材料解答下列問題:
(1)2016年第二屆北京百合文化節,種植的小麗花的株數為19.8萬株;
(2)選擇統計表或統計圖,將2015、2016年百合文化節期間在世葡園種植的百合、小麗花、葡萄的株數表示出來.

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科目:初中數學 來源: 題型:解答題

17.如圖,四邊形ABCD是矩形,將矩形沿對角線AC折疊,點B落在點E處,CE與AD相交于點O.求證:OA=OC.

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科目:初中數學 來源: 題型:解答題

4.如圖,已知⊙O中,AB是直徑,PA和PC分別與⊙O相切于A,C兩點,連結OP,CB
(1)求證:OP∥CB;
(2)延長PC交AB的延長線于點D,若PC=12,sin∠POA=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$,求PD的長.

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科目:初中數學 來源: 題型:解答題

14.已知二次函數y=3ax2+2bx+c
(1)若c=-2,該二次函數圖象與x軸交點的坐標為(2,0),(-1,0),求此二次函數的最值;
(2)若a+b+c=0,且x1=0時,對應的y1>0;x2=1時,對應的y2>0,請你先判斷a,c的大小關系;再判斷當0<x<1時拋物線與x軸是否有公共點,并說明理由.

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科目:初中數學 來源: 題型:解答題

1.如圖△ABC的頂點坐標分別為A(1,1),B(2,3),C(3,0).
(1)以點O為位似中心畫△DEF,使它與△ABC位似,且相似比為2.
(2)在(1)的條件下,若M(a,b)為△ABC邊上的任意一點,則△DEF的邊上與點M對應的點M′的坐標為(2a,2b)或(-2a,-2b).

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18.八月份某學校計劃在總費用2300元的限額內,租用汽車送234名運動員和6名教練到外地參加第二屆全州青少年運動會,每輛汽車上至少要有1名教練,現在甲、乙兩種大客車,它們的載客量和租金如表:
甲種客車乙種客車
載客量/(人/輛)4530
租金/(元/輛)400280
(1)共需租多少輛汽車?
(2)有幾種租車方案;
(3)最節省費用的是哪種租車方案?

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科目:初中數學 來源: 題型:選擇題

19.在數軸上表示不等式x<1的解集,正確的是(  )
A.B.
C.D.

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