Question

14．已知二次函數y=3ax²+2bx+c
（1）若c=-2，該二次函數圖象與x軸交點的坐標為（2，0），（-1，0），求此二次函數的最值；
（2）若a+b+c=0，且x₁=0時，對應的y₁＞0；x₂=1時，對應的y₂＞0，請你先判斷a，c的大小關系；再判斷當0＜x＜1時拋物線與x軸是否有公共點，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數法列出方程組即可解決問題．
（2）首先判斷C的符號，由  3a+2b+c＞0，又a+b+c=0，所以b=-a-c，得到3a+2b+c=3a+2（-a-c）+c=a-c＞0，即可判定a＞c＞0，b＜0，再利用根的判別式，以及頂點坐標公式即可解決問題．

解答 解（1）由題意得$\left\{\begin{array}{l}{12a+4b-2=0}\\{3a-2b-2=0}\end{array}\right.$解得$\left\{{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{3}}\\{b=-\frac{1}{2}}\end{array}}\right.$
∴$y={x^2}-x-2={（x-\frac{1}{2}）^2}-\frac{9}{4}$
∵拋物線開口向上
∴當$x=\frac{1}{2}$時，y有最小值$-\frac{9}{4}$．

（2）∵當x₁=0時，y₁＞0；x₂=1時，y₂＞0
∴c＞0；   3a+2b+c＞0，
又∵a+b+c=0，
∴b=-a-c
∴3a+2b+c=3a+2（-a-c）+c=a-c＞0
∴a＞c＞0，b＜0
∵△=4b²-12ac=4（a+c）²-12ac=4[（a-c）²+ac]＞0，
∴拋物線y=3ax²+2bx+c與x軸有兩個公共點
∵拋物線的頂點$（-\frac{3a}；-\frac{{12ac-4{b^2}}}{12a}）$
∵$-\frac{3a}＞0；\frac{{12ac-4{b^2}}}{12a}＜0$
∴拋物線的頂點在第四象限
∵拋物線的對稱軸$x=-\frac{3a}$，
由a+b+c=0，c＞0，2a+b＞0，得-2a＜b＜-a．（由b=-a-c，c＞0，可知b＜-a）
∴$\frac{1}{3}＜-\frac{3a}＜\frac{2}{3}$．
∵當x₁=0時，y₁=c＞0；x₂=1時，y₀=3a+2b+c＞0，
觀察圖象，可知在0＜x＜1范圍內，該拋物線與x軸有兩個公共點．

點評 本題考查拋物線與x軸的交點問題，根的判別式、頂點坐標公式等知識，解題的關鍵是靈活應用這些知識解決問題，屬于中考�？碱}型．