Question

【題目】如圖，已知：在坐標(biāo)平面內(nèi)，等腰直角中，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，交軸于點(diǎn).

（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）如圖，點(diǎn)在軸上，當(dāng)的周長(zhǎng)最小時(shí)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；

（4）在直線上有點(diǎn)，在軸上有點(diǎn)，求出的最小值.

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）點(diǎn)的坐標(biāo)為；（4）最小值為9.

【解析】

（1）過(guò)C作直線EF∥x軸，分別過(guò)點(diǎn)A、B作直線EF的垂線，垂足分別為E、F，證明ΔACE≌ΔCBF，得到CF=AE，BF=CE，即可得到結(jié)論；

（2）分別過(guò)點(diǎn)A、B作x軸的垂線，垂足分別為G、H易證ΔAGD≌ΔBHD，得到GD=HD．由G(-3，0)，H(1，0)，即可得到結(jié)論；

（3）作點(diǎn)A(-5，1)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)A' (-5，-1)，連接AP，A' P，A' C．過(guò)A' 作A' R⊥y軸于R，則AP=A' P，根據(jù)ΔACP的周長(zhǎng)=AC+AP+CP=AC+A'P+CP≥AC+A'C．根據(jù)△A'RC和△COP都是等腰直角三角形，得到PO=CO=4，從而得到結(jié)論．

（4）作點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)B'．過(guò)B'作B'R⊥y軸于R，過(guò)B作BT⊥y軸于T．可證明△B'RC≌△BTC，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可B'的坐標(biāo)．過(guò)點(diǎn)B'作x軸的垂線交直線AC于點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)N，則BM+MN=B'M+MN．根據(jù)“垂線段最短”可得它的最小值即線段B'N的長(zhǎng)．即可得到結(jié)論．

（1）如圖，過(guò)C作直線EF∥x軸，分別過(guò)點(diǎn)A、B作直線EF的垂線，垂足分別為E、F，

∴∠E=∠F=90°，

∴∠EAC+∠ECA=90°．

∵∠ACB=90°，

∴∠BCF+∠ECA=90°，

∴∠BCF=∠EAC．

又∵AC=BC，

∴ΔACE≌ΔCBF，

∴CF=AE，BF=CE．

∵點(diǎn)A(-5，1)，點(diǎn)C(0，4)，

∴CF=AE=3，BF=CE=5，且5-4=1，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3，-1)；

（2）如圖，分別過(guò)點(diǎn)A、B作x軸的垂線，垂足分別為G、H，

∴∠AGD=∠BHD=90°．

又∵∠ADG=∠BDH，AG=BH=1，

∴ΔAGD≌ΔBHD，

∴GD=HD．

∵G(-3，0)，H(1，0)，

∴GH=4，

∴GD=HD=2，

∴OD=OG-GD=3-2=1，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-1，0)；

（3）作點(diǎn)A(-5，1)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)A' (-5，-1)，連接AP，A' P，A' C．過(guò)A' 作A' R⊥y軸于R．

則AP=A' P，

∴ΔACP的周長(zhǎng)=AC+AP+CP=AC+A'P+CP≥AC+A'C．

∵A'R=5，CR=CO+OR=4+1=5，

∴A'R=CR，

∴△A'RC是等腰直角三角形，

∴∠CA'R=45°．

∵A'R∥x軸，

∴∠CPO=∠CA'R=45°，

∴△COP是等腰直角三角形，

∴PO=CO=4，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-4，0)．

（4）如圖，作點(diǎn)B(3，-1)關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)B'．過(guò)B'作B'R⊥y軸于R，過(guò)B作BT⊥y軸于T．

∵BC=B'C，∠B'RC=∠BTC=90°，∠B'CR=∠BCT，

∴△B'RC≌△BTC，

∴B'R=BT=3，CR=CT=CO+OT=4+1=5，

∴OR=OC+CR=4+5=9，

∴B'(-3，9)．

過(guò)點(diǎn)B'作x軸的垂線交直線AC于點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)N，則BM+MN=B'M+MN．

根據(jù)“垂線段最短”可得它的最小值即線段B'N的長(zhǎng)．

故BM+MN的最小值為9．