Question

【題目】在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，垂足為G，且AD＝AB，∠EDF＝60°，其兩邊分別交邊AB，AC于點E，F．

（1）連接BD，求證：△ABD是等邊三角形；

（2）試猜想：線段AE、AF與AD之間有怎樣的數量關系？并給以證明．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）AE+AF＝AD.證明見解析．

【解析】

（1）連接BD由等腰三角形的性質和已知條件得出∠BAD＝∠DAC＝，再由AD＝AB，即可得出結論；

（2）由△ABD是等邊三角形，得出BD＝AD，∠ABD＝∠ADB＝60°，證出∠BDE＝∠ADF，由ASA證明△BDE≌△ADF，得出AF＝BE，即可求解．

（1）證明：連接BD，

∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴∠BAD＝∠DAC＝ ∠BAC，

∵∠BAC＝120°，

∴，

∵AD＝AB，

∴△ABD是等邊三角形；

（2）猜想：AE+AF＝AD，

理由如下：∵△ABD是等邊三角形，

∴∠ABD＝∠ADB＝60°，AB＝BD＝AD

∵∠EDF＝60°，

∴∠BDE＝∠ADF，

在△BDE與△ADF中，

∴△BDE≌△ADF（ASA），

∴AF＝BE，

∴AB＝BE+AE＝AF+AE＝AD