Question

直線y=kx+b經過點A（0，1），B（-3，0），點P是這條直線上的一個動點，以P為圓心的圓與x軸相切于點C．
（1）求直線AB的解析式；
（2）設點P的橫坐標為t，若⊙P與y軸相切，求t的值；
（3）是否存在點P，使⊙P與y軸兩交點間的距離恰好等于2？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）可以用待定系數法確定直線AB的解析式；
（2）根據P為圓心的圓與x軸相切，也與y軸相切得到它到兩坐標軸的距離相等，設P的橫坐標為t，就可以列出關于t的方程，解方程就可以求出t；
（3）如圖，首先根據垂徑定理得M是CD的中點，然后根據勾股定理計算t的值就可以求出t了．

解答：解：（1）直線AB的解析式為y=kx+b，
∴

1=b 0=-3k+b

，
∴k=

1

3

，b=1，
∴y=

1

3

x+1；

（2）設P（t，

1

3

t+1），
∵以P為圓心的圓與x軸相切，且⊙P與y軸相切，
∴t=

1

3

t+1或-t=

1

3

t+1，
∴t=

3

2

或t=-

3

4

；

（3）假設P點存在，
設其坐標為：P（t，

1

3

t+1），
過P作PM⊥CD于M，PN⊥x軸于N，連接PC，
則PN=PC=

1

3

t+1，PM=t，根據已知CD=2，則CM=1，
∴PC²=PM²+CM²，
∴(

1

3

t+1)2=t2+12，
∴t₁=0，t₂=

3

4

，
∴P（0，1）或P（

3

4

，

5

4

）．

點評：此題把圓的知識與一次函數，勾股定理結合起來，綜合考查了這幾方面的知識，有一定的綜合性．