Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，E是AB上一點，連接DE，過點A作AF⊥DE，垂足為F．⊙O經過點C、D、F，與AD相交于點G，且AB與⊙O相切，則AE的長為_____．

Answer 1

【答案】1

【解析】

設AB與⊙O相切于M，連接OM并反向延長交CD于N，則MN⊥AB，連接GF，根據垂徑定理得到CN＝DN，根據相似三角形的性質得到＝，如圖，連接CG，根據相似三角形的性質得到＝，推出AG＝EA，根據勾股定理列方程即可得到結論．

解：設AB與⊙O相切于M，連接OM并反向延長交CD于N，

則MN⊥AB，連接GF，

在正方形ABCD中，∵AB∥CD，

∴MN⊥CD，

∴CN＝DN，

∵∠ADC＝90°，

∴∠CDF+∠ADF＝90°，

∵AF⊥DE，

∴∠AFD＝90°，

∴∠DAF+∠ADF＝90°，

∴∠DAF＝∠CDF，

∵四邊形GFCD是⊙O的內接四邊形，

∴∠FCD+∠DGF＝180°，

∵∠FGA+∠DGF＝180°，

∴∠FGA＝∠FCD，

∴△AFG∽△DFC，

∴＝，

如圖，連接CG．

∵∠EAD＝∠AFD＝90°，∠EDA＝∠ADF，

∴△EDA∽△ADF，

∴＝，即＝，

∴＝，

在正方形ABCD中，DA＝DC，

∴AG＝EA，

∴DG＝4﹣AE，

∵ON＝DG＝2﹣AE，

∴CG＝2OM＝2（4﹣ON）＝4+AE，

∵DG2+CD2＝CG2，

∴（4﹣AE）2+42＝（4+AE）2，

∴AE＝1．

故答案為：1．