Question

如圖，點O是線段AB的中點，分別以AO和OB為邊在線段AB的同側作等邊三角形OAM和等邊三角形OBN，連接AN、BM相交于點P．
（1）證明ON⊥BM；
（2）求∠APB的大小；
（3）如圖2，若△OAM固定，將△OBN繞著點O旋轉α角度（△OBN形狀和大小不變，0＜α＜180°），試探究∠APB大小是否發生變化，并對結論給予證明．

Answer 1

解：（1）證明：連接MN，∵AO=OB且△OAM和△OBN是等邊三角形，
∴OM=BN=OB，∠MOA=∠NBO，
∴MO∥BN，且OM=BN，
∴四邊形MOBN為平行四邊形．
又∵BN=OB，
∴平行四邊形MOBN為菱形，
∴ON⊥BM．


（2）∵四邊形MOBN為菱形，
∴BM平分∠OBN，
又在等邊△OBN中，∠OBN=60°，
∴∠MBO=30°，即∠PBA=30°．
同理∠PAB=30°，
∴∠APB=180°-∠PAB-∠PBA=180°-30°-30°=120°．

（3）在旋轉過程中∠APB大小不發生變化，始終保持120°不變．
證明：①若△OBN繞著點O逆時針旋轉α（0°＜α＜60°）或順時針旋轉α（0°＜α＜120°）時，
則如圖，在△AON和△MOB中，∠AON=∠AOM+∠MON=60°+∠MON，
又∠MOB=∠BON+∠MON=60°+∠MON，
∴∠AON=∠MOB，
又AO=MO，ON=OB，
∴△AON≌△MOB，
∴∠ONA=∠OBM．
∴∠APB=∠ANB+∠PBN=∠ONB+∠ONA+∠OBN-∠OBM=120°．
②若△OBN繞著點O逆時針旋轉60°或順時針旋轉120°時，點P與M或O重合，此時仍有∠APB=120°．
③若△OBN繞著點O逆時針旋轉α（60°＜α＜180°）或順時針旋轉α（120°＜α＜180°）時，類似①可證∠APB=120°．
分析：（1）連接MN，先證明四邊形MOBN為平行四邊形，結合BN=OB，可知平行四邊形MOBN為菱形，所以ON⊥BM；
（2）利用（1）中證得的結果四邊形MOBN為菱形可知，BM平分∠OBN，又在等邊△OBN中，∠OBN=60°，所以∠MBO=30°，即∠PBA=30°，∠PAB=30°，所以∠APB=180°-∠PAB-∠PBA=120°；
（3）①若△OBN繞著點O逆時針旋轉α（0°＜α＜60°）或順時針旋轉α（0°＜α＜120°）時，∠AON=∠AOM+∠MON=60°+∠MON，∠MOB=∠BON+∠MON=60°+∠MON，可證明△AON≌△MOB，所以∠ONA=∠OBM．則∠APB=ONB+∠ONA+∠OBN-∠OBM=120°．
②若△OBN繞著點O逆時針旋轉60°或順時針旋轉120°時，點P與M或O重合，此時仍有∠APB=120°．
③若△OBN繞著點O逆時針旋轉α（60°＜α＜180°）或順時針旋轉α（120°＜α＜180°）時，類似①可證∠APB=120°．
點評：本題考查旋轉的性質，菱形的性質和等邊三角形的性質．旋轉變化前后，對應線段、對應角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變．要熟練掌握它們的性質，并會熟練地運用全等的性質得到需要的等量關系．