Question

△ABC中，點(diǎn)O是AC邊上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)O作直線MN∥BC，設(shè)交∠ACB的平分線于點(diǎn)E，交∠ACB的外角平分線于點(diǎn)F．
（1）試證明：△CEF為直角三角形．
（2）試證明：OE=OF．
（3）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動到線段AC的中點(diǎn)時，四邊形AECF是否是矩形？并證明．
（4）在（3）的條件下，當(dāng)△ABC為直角三角形且∠ACB=90°，試猜想四邊形AECF是什么四邊形，并證明．

Answer 1

分析：（1）關(guān)鍵角平分線性質(zhì)求出∠FCE=90°即可；
（2）關(guān)鍵平行線性質(zhì)和角平分線性質(zhì)求出∠OCE=∠OEC，推出OC=OE，同理求出OC=OF即可；
（3）關(guān)鍵平行四邊形的判定推出是平行四邊形，求出對角線相等即可；
（4）證出AE=CE即可．

解答：（1）證明：∵∠ACB的平分線CE，∠ACB的外角平分線CF，
∴∠ECF=

1

2

×180°=90°，
∴△CEF是直角三角形．

（2）證明：∵M(jìn)N∥BC，
∴∠OEC=∠ECB，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE，
∴∠OCE=∠OEC，
∴OC=OE，
同理OC=OF，
∴OE=OF．

（3）答：當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動到線段AC的中點(diǎn)時，四邊形AECF是矩形，
證明：∵OE=OF，OA=OC，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵OC=OE=OF=OA，
∴AC=EF，
∴四邊形AECF是矩形．

（4）答：四邊形AECF是正方形．
證明：∵∠ACB=90°，CE平分∠ACB，
∴∠ACE=45°，
∵∠E=90°，
∴∠EAC=45°=∠ACE，
∴AE=CE，
∵四邊形AECF是矩形，
∴四邊形AECF是正方形．

點(diǎn)評：本題主要考查對矩形、正方形、平行四邊形的判定，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定等知識點(diǎn)的理解和掌握，能靈活運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．