Question

26、如圖，在△ABC中，點O是AC邊上的一個動點，過點O作直線MN∥BC，設MN交∠BCA的平分線于點E，交∠BCA的外角平分線于點F．
（1）求證：EO=FO；
（2）當點O運動到何處時，四邊形AECF是矩形？為什么？
（3）△ABC進行怎樣的變化才能使AC邊上存在點O，使四邊形AECF是正方形？為什么？

Answer 1

分析：（1）由已知MN∥BC得到兩對內錯角相等，再由CE、CF分別平分∠BCO和∠GCO，根據等量代換可推出∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，分別根據“等角對等邊”得證；
（2）由（1）得出的EO=CO=FO，點O運動到AC的中點時，則由EO=CO=FO=AO，根據對角線互相平分且相等的四邊形為矩形得證；
（3）由已知和（2）得到的結論，點O運動到AC的中點時，且△ABC滿足∠ACB為直角的直角三角形時，則推出四邊形AECF是矩形且對角線垂直，所以四邊形AECF是正方形．

解答：解（1）∵MN∥BC，
∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠GCF，
又已知CE平分∠BCO，CF平分∠GCO，
∴∠OCE=∠BCE，∠OCF═∠GCF，
∴∠OCE=∠OEC，∠OCF=∠OFC，
∴EO=CO，FO=CO，
∴EO=FO；
（2）當點O運動到AC的中點時，四邊形AECF是矩形．
∵當點O運動到AC的中點時，AO=CO，
又EO=CO，FO=CO，
∴AO=BO=CO=DO，
∴AO+OC=EO+OF，即AC=EF，
∴四邊形AECF是矩形；
（3）當點O運動到AC的中點時，且△ABC滿足∠ACB為直角的直角三角形時，四邊形AECF是正方形．
∵由（2）知，當點O運動到AC的中點時，四邊形AECF是矩形，
已知MN∥BC，當∠ACB=90°，則
∠AOF=∠COE=∠COF=∠AOE=90°，
∴AC⊥EF，
∴四邊形AECF是正方形．

點評：此題考查的知識點是正方形和矩形的判定及角平分線的定義，屬于探究條件型題，即在條件不充分的情況下，探究所缺少的條件，解答這類試題可采用“逆向思維”，視結論為題設，尋找必要條件，往往缺少的就是那個條件，同時注意三問之間的內在聯系，注意運用已經推出的結論解決問題．