Question

已知：如圖，在△ABC中，點O是AC邊上（端點除外）的一個動點，過點O作直線MN∥BC．設MN交∠BCA的平分線于點E，交外角∠DCA的平分線于點F，連接AE、AF．
（1）求證：EO=FO；
（2）當點O運動到何處時，四邊形AECF是矩形？并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）根據平行線得出∠OFC=∠DCF，根據角平分線定義得出∠ACF=∠DCF，推出∠OFC=∠ACF，推出OF=OC，同理得出OE=OC，即可得出答案；
（2）根據平行四邊形判定得出四邊形是平行四邊形，求出∠FCE=90°，根據矩形判定推出即可．

解答：（1）證明：∵FC平分∠ACD，
∴∠ACF=∠DCF，
∵MN∥BD，
∴∠OFC=∠DCF，
∴∠OFC=∠ACF，
∴OF=OC，
同理OE=OC，
∴OE=OF．

（2）當O為AC中點時，四邊形AECF是矩形，
證明：∵O為AC中點，
∴OA=OC，
∵OE=OF，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵CF平分∠ACD，CE平分∠ACB，
∴∠ACF=∠DCF=

1

2

∠ACD，∠ACE=∠BCE=

1

2

∠ACB，
∴∠FCE=∠ACF+∠ACE=

1

2

∠ACD+

1

2

∠ACB=

1

2

×180°=90°，
∴平行四邊形AECF是矩形．

點評：本題考查了矩形判定，平行四邊形判定，平行線性質，角平分線定義的應用，主要考查學生的推理能力．