Question

在△ABC中，點D在AC上，點E在BC上，且DE∥AB，將△CDE繞點C按順時針方向旋轉得到△CD’E’（使∠BCE′＜180°），連接AD′、BE′，設直線BE′與AC交于點O．

（1）如圖1，當AC=BC時，AD′：BE′的值為

 

；
（2）如圖2，當AC=5，BC=4時，求AD′：BE′的值；
（3）在（2）的條件下，若∠ACB=60°，且E為BC的中點，求△OAB面積的最小值．

Answer 1

分析：（1）AD′和BE′應該相等，可通過證△ACD′≌△BCE′來求解．這兩個三角形中已知的條件有：∠ACD′和∠BCE′是一對等角的補角，因此這兩角相等．然后證其他條件，由于AC=AB，DE∥AB，因此△CDE和△CD′E′都是等腰三角形，由此可得出AC=BC，CE′=CD′，由此滿足了全等三角形的判定中SAS的條件，因此這兩三角形全等，可得出AD′=BE′即它們的比為1；
（2）方法同（1）只不過線段相等換成了線段成比例，而三角形全等變成了三角形相似，根據相似三角形的對應線段成比例即可得出AD′、BE′的比例關系．
（3）如果過B作BM⊥AC于M，那么可根據∠ACB的度數和BC的長求出BM的值，由此可知：△OAB中，高BM是個定值，因此△OAB面積最小時，OA最小，那么此時OC最大．然后來求出此時OC的長，由題意可知，E′的運動軌跡是以C為圓心，CE′為半徑的圓，而BE′總和圓C有交點，因此要想使OC最長，那么∠E′BC的度數就要最大，即此時BE′是圓C的切線，∠BE′C=90°，∠E′BC=30°（由于∠ACB=60°，因此∠E′BC的最大度數只能是30°），那么O與E′重合即可求出CE′和OC的長，而后可根據AC的長求出OA的長，根據三角形的面積公式即可求出此時△OAB的面積．

解答：解：（1）1

（2）解：∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB．∴

EC

BC

=

DC

AC

．
由旋轉圖形的性質得，EC=E′C，DC=D′C，
∴

E′C

BC

=

D′C

AC

．
∵∠ECD=∠E′CD′，
∴∠ECD+∠ACE′=∠E′CD′+∠ACE′即∠BCE′=∠ACD′．
∴△BCE′∽△ACD′．
∴

AD′

BE′

=

AC

BC

=

5

4

．

（3）解：作BM⊥AC于點M，則BM=BC•sin60°=2

3

．
∵E為BC中點，
∴CE=

1

2

BC=2．
△CDE旋轉時，點E′在以點C為圓心、CE長為半徑的圓上運動．
∵CO隨著∠CBE′的增大而增大，
∴當BE′與⊙C相切時，即∠BE′C=90°時∠CBE′最大，
則CO最大．
∴此時∠CBE′=30°，CE′=

1

2

BC=2=CE．
∴點E′在AC上，即點E′與點O重合．
∴CO=CE′=2．
又∵CO最大時，AO最小，且AO=AC-CO=3．
∴S_△OAB最小=

1

2

AO•BM=3

3

．

點評：本題考查了旋轉的性質，相似三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質等知識點，（3）中結合圓的知識來確定OA的長是解題的關鍵．