Question

如圖，在△ABC中，∠A=90°，AB=2cm，AC=4cm．動點P從點A出發，沿AB方向以1cm/s的速度向點B運動，動點Q從點B同時出發，沿BA方向以1cm/s的速度向點A運動．當點P到達點B時，P，Q兩點同時停止運動，以AP為一邊向上作正方形APDE，過點Q作QF∥BC，交AC于點F．設點P的運動時間為ts，正方形和梯形重合部分的面積為Scm²．
（1）當t=　_________　s時，點P與點Q重合；
（2）當t=　_________　s時，點D在QF上；
（3）當點P在Q，B兩點之間（不包括Q，B兩點）時，求S與t之間的函數關系式．

Answer 1

（1）1    （2）     （3）

解析試題分析：（1）當點P與點Q重合時，AP=BQ=t，且AP+BQ=AB=2，
∴t+t=2，解得t=1s，
故填空答案：1．
（2）當點D在QF上時，如答圖1所示，此時AP=BQ=t．
∵QF∥BC，APDE為正方形，∴△PQD∽△ABC，
∴DP：PQ=AC：AB=2，則PQ=DP=AP=t．
由AP+PQ+BQ=AB=2，得t+t+t=2，解得：t=．
故填空答案：．
（3）當P、Q重合時，由（1）知，此時t=1；
當D點在BC上時，如答圖2所示，此時AP=BQ=t，BP=t，求得t=s，進一步分析可知此時點E與點F重合；
當點P到達B點時，此時t=2．
因此當P點在Q，B兩點之間（不包括Q，B兩點）時，其運動過程可分析如下：
①當1＜t≤時，如答圖3所示，此時重合部分為梯形PDGQ．
此時AP=BQ=t，∴AQ=2﹣t，PQ=AP﹣AQ=2t﹣2；
易知△ABC∽△AQF，可得AF=2AQ，EF=2EG．
∴EF=AF﹣AE=2（2﹣t）﹣t=4﹣3t，EG=EF=2﹣t，
∴DG=DE﹣EG=t﹣（2﹣t）=t﹣2．
S=S_梯形PDGQ=（PQ+DG）•PD=[（2t﹣2）+（t﹣2）]•t=t²﹣2t；
②當＜t＜2時，如答圖4所示，此時重合部分為一個多邊形．
此時AP=BQ=t，∴AQ=PB=2﹣t，
易知△ABC∽△AQF∽△PBM∽△DNM，可得AF=2AQ，PM=2PB，DM=2DN，
∴AF=4﹣2t，PM=4﹣2t．
又DM=DP﹣PM=t﹣（4﹣2t）=3t﹣4，∴DN=（3t﹣4）．
S=S_{正方形APDE}﹣S_△AQF﹣S_△DMN=AP²﹣AQ•AF﹣DN•DM
=t²﹣（2﹣t）（4﹣2t）﹣×（3t﹣4）×（3t﹣4）
=﹣t²+10t﹣8．
綜上所述，當點P在Q，B兩點之間（不包括Q，B兩點）時，S與t之間的函數關系式為：
S=．


考點：相似形綜合題；勾股定理；正方形的性質；相似三角形的判定與性質．
點評：本題是運動型綜合題，涉及到動點與動線問題．第（1）（2）問均涉及動點問題，列方程即可求出t的值；第（3）問涉及動線問題，是本題難點所在，首先要正確分析動線運動過程，然后再正確計算其對應的面積S．本題難度較大，需要同學們具備良好的空間想象能力和較強的邏輯推理能力．