Question

已知：△ABC中，AB=AC．
（1）如圖①，點O在BC邊上，且OB=OC，過O作OD⊥AB于點D，作OE⊥AC于點E，求證：OD=OE；
（2）如圖②，點O在△ABC的內部，且OB=OC，過點O作OD⊥AB于點D，作OE⊥AC于點E，OD=OE還成立嗎？若成立請證明，若不成立，請說明理由；
（3）點O在△ABC的外部，且OB=OC，過點O作OD⊥AB的延長線于點D，作OE⊥AC的延長線于點E，OD=OE還成立嗎？請直接回答是否成立即可，不需要說明理由．

Answer 1

分析：（1）連接AO，先由等腰三角形三線合一的性質得出AO平分∠BAC，再根據角平分線的性質即可得出OD=OE；
（2）連接AO，先由AB=AC及OB=OC得出AO是BC的垂直平分線，再由等腰三角形三線合一的性質得出AO平分∠BAC，然后根據角平分線的性質即可得出OD=OE；
（3）根據等于三角形的性質，由AAS易證得Rt△BOD≌Rt△COE，根據全等三角形的性質即可得出結論．

解答：（1）證明：如圖①，連接AO．
∵AB=AC，OB=OC，
∴AO平分∠BAC，
又∵OD⊥AB于點D，作OE⊥AC于點E，
∴OD=OE；

（2）解：OD=OE仍然成立．理由如下：
如圖②，連接AO．
∵AB=AC，
∴A在BC的垂直平分線上，
∵OB=OC，
∴O在BC的垂直平分線上，
∵兩點確定一條直線，
∴AO是BC的垂直平分線，
∵AB=AC，
∴AO平分∠BAC，
又∵OD⊥AB于點D，作OE⊥AC于點E，
∴OD=OE；

（3）證明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠OBD=∠OCE，
∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴∠ODB=∠OEC=90°，
在△BOD與△COE中，
∵

∠ODB=∠OEC ∠OBD=∠OCE OB=OC

，
∴△BOD≌Rt△COE（AAS），
∴OD=OE．

點評：本題考查了線段垂直平分線的判定與性質，等腰三角形及角平分線的性質，正確地作出輔助線，利用等腰三角形三線合一的性質得出AO平分∠BAC是解題的關鍵．