Question

【題目】如圖，中，，，，若動點從點開始，按的路徑運動，且速度為每秒，設出發的時間為秒.

（1）出發2秒后，求的周長.

（2）問為何值時，為等腰三角形？

（3）另有一點，從點開始，按的路徑運動，且速度為每秒，若、兩點同時出發，當、中有一點到達終點時，另一點也停止運動.當為何值時，直線把的周長分成的兩部分？

Answer 1

【答案】（1）cm；（2）當為3秒、5.4秒、6秒、6.5秒時，為等腰三角形；（3）或或秒

【解析】

（1）根據速度為每秒1cm，求出出發2秒后CP的長，然后就知AP的長，利用勾股定理求得PB的長，最后即可求得周長；

（2）分點P在邊AC上和點P在邊AB上兩種情況求解即可；

（3）分類討論：①當點在上，在上；②當點在上，在上；③當點在上，在上.

解：（1）如圖1，由，，，

∴，

動點從點開始，按的路徑運動，且速度為每秒，

∴出發2秒后，則，

∴AP=2，

∵，

∴，

∴的周長為：.

（2）①如圖2，若在邊上時，，

此時用的時間為，為等腰三角形；

②2若在邊上時，有三種情況：

（ⅰ）如圖3，若使，此時，運動的路程為，

所以用的時間為，為等腰三角形；

（ⅱ）如圖4，若，作于點，

∵，

∴CD=，

在中，

，

所以，

所以運動的路程為，

則用的時間為，為等腰三角形；

（ⅲ）如圖5，若，此時應該為斜邊的中點，運動的路程為，

則所用的時間為，為等腰三角形；

綜上所述，當為、、、時，為等腰三角形；

（3）①3÷2=1.5秒，如圖6，當點在上，在上，則，，

∵直線把的周長分成的兩部分，

∴，∴，符合題意；

②(3+5) ÷2=4秒，如圖7，當點在上，在上，則，，

∵直線把的周長分成的兩部分，

∴，，符合題意；

③12÷2=6秒，當點在上，在上，則，，

∵直線把的周長分成的兩部分，

（ⅰ）當AP+AQ=周長的時，如圖8，

∴，，符合題意；

（ⅱ）當AP+AQ=周長的時，如圖9，

∴，∴；

∵當秒時，點到達點停止運動，

∴這種情況應該舍去.

綜上，當為或或秒時，直線把的周長分成的兩部分.