Question

如圖，點B、C、D都在⊙O上，過C點作CA∥BD,交OD的延長線于點A，連接BC，∠B=∠A=30º，BD=。

（1）求證：AC是⊙O的切線。

（2）求由線段AC、AD與弧CD所圍成的陰影部分的面積（結果保留π）。

Answer 1

(1)證明見解析；（2）2﹣．

【解析】

試題分析：（1）連接OC，根據圓周角定理求出∠COA，根據三角形內角和定理求出∠OCA，根據切線的判定推出即可；

（2）求出DE，解直角三角形求出OC，分別求出△ACO的面積和扇形COD的面積，即可得出答案．

試題解析：（1）證明：連接OC，交BD于E，

∵∠B=30°，∠B=∠COD，

∴∠COD=60°，

∵∠A=30°，

∴∠OCA=90°，

即OC⊥AC，

∴AC是⊙O的切線；

（2）【解析】
∵AC∥BD，∠OCA=90°，

∴∠OED=∠OCA=90°，

∴DE=BD=，

∵sin∠COD=，

∴OD=2，

在Rt△ACO中，tan∠COA=，

∴AC=2，

∴S陰影=×2×2﹣=2﹣．

考點：1.切線的判定；2.扇形面積的計算．