Question

13．如圖，已知拋物線y=ax²-2ax-3a（a＜0）與x軸交于A、B兩點，點A在點B的左邊，與y軸交于點C，頂點為D，若以BD為直徑的⊙M經過點C．

（1）請直接寫出C、D兩點的坐標（用含a的代數式表示）；
（2）求拋物線的函數表達式；
（3）在拋物線上是否存在點E，使∠EDB=∠CBD？若存在，請求出所有滿足條件的點E的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）將x=0代入拋物線的解析式可得到點C的坐標，依據拋物線的對稱軸方程可求得點D的橫坐標，然后將點D的橫坐標代入可求得點D的縱坐標；
（2）令y=0可求得點A、B的坐標，過點D作DN⊥y軸于點N，則DN=1，CN=-a．接下來證明△BOC∽△CND，然后依據相似三角形的性質可求得a的值，從而得到拋物線的解析式；
（3）先求得點D的坐標、直線BC的解析式，點D作DE∥BC，交拋物線與點E．設直線DE的解析式為y=-x+b，把點D（1，4）代入直線DE的解析式求得b的值，然后將DE的解析式與拋物線的解析式組成方程可求得點E的坐標；作∠PDB=∠CBD，DP交BC于點P，交拋物線與點E．克證明MP垂直平分BD，從而可求得PM的解析式，然后由PM的解析式和BC的解析式可求得點P的坐標，接下來求得PD的解析式，最后根據DP的解析式和拋物線的解析式可求得E的坐標．

解答 解：∵（1）將x=0代入拋物線的解析式得y=-3a，
∴點C的坐標是（0，-3a）．
∵x=-$\frac{b}{2a}$=$\frac{2a}{2a}$=1，
∴點D的橫坐標為1．
∵將x=1代入拋物線的解析式得y=a-2a-3a=-4a，
∴點D的坐標是（1，-4a）．
（2）解：令y=0得：ax²-2ax-3a=0
∵a≠0，故得x₁=-1，x₂=3
∴A（-1，0），B（3，0）．
如圖1所示：過點D作DN⊥y軸于點N，則DN=1，CN=-4a-（-3a）=-a．

∵BD為⊙M的直徑，
∴∠BCD=90°．
∴∠DCN+∠BCO=90°．
∵∠CDN+∠DCN=90°，
∴∠BCO=∠CDN，
∵∠BOC=∠DNC=90°，
∴△BOC∽△CND．
∴$\frac{OB}{CN}=\frac{OC}{DN}$，即$\frac{3}{-a}=\frac{-3a}{1}$，解得：a=±1（其中a=1舍去），
∴a=-1．
∴所求拋物線為y=-x²+2x+3．
（3）解：∵a=-1，
∴D（1，4）．
∵設直線BC的解析式為y=kx+b，將B（3，0），C（0，3）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，解得：k=-1，b=3，
∴直線BC為：y=-x+3．
如圖2所示：過點D作DE∥BC，交拋物線與點E．

∵DE∥BC，
∴∠EDB=∠CBD．
∴設直線DE為y=-x+b
∵把點D（1，4）代入得：4=-1+b，解得：b=5，
∴直線DE為：y=-x+5．
解方程組$\left\{\begin{array}{l}y=-x+5\\ y=-{x^2}+2x+3\end{array}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}{x_1}=1\\{y_1}=4\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x_2}=2\\{y_2}=3\end{array}\right.$
∵D（1，4）
∴E（2，3）．
如圖3所示：作∠PDB=∠CBD，DP交BC于點P，交拋物線與點E．

∵∠EDB=∠CBD，
∴PD=PB．
又∵MB=MD，
∴PM⊥BD．
∵B（3，0），D（1，4），
∴直線BD為y=-2x+6，且M（2，2）
∴設直線PM為$y=\frac{1}{2}x+{b_2}$，
∴2=1+b₂，
∴b₂=1
∴直線PM為：$y=\frac{1}{2}x+1$
解方程組$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{2}x+1\\ y=-x+3\end{array}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{4}{3}\\ y=\frac{5}{3}\end{array}\right.$，
∴P（$\frac{4}{3}$，$\frac{5}{3}$）
∵D（1，4），P（$\frac{4}{3}$，$\frac{5}{3}$）
∴直線PD為：y=-7x+11
解方程組$\left\{\begin{array}{l}y=-7x+11\\ y=-{x^2}+2x+3\end{array}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}{x_1}=1\\{y_1}=4\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x_2}=8\\{y_2}=-45\end{array}\right.$
∵D（1，4），
∴E（8，-45）．
綜上所述，在拋物線上存在滿足條件的點E，點E的坐標為E（2，3）或E（8，-45）．

點評 本題主要考查的是二次函數的綜合應用，解答本題主要應用了待定系數法求一次函數、二次函數的解析式、拋物線與坐標軸的交點、函數圖象的交點問題，分類畫出圖形，并求得PE的解析式是解題的關鍵．