Question

已知等邊△OAB的邊長為a，以AB邊上的高OA₁為邊，按逆時針方向作等邊△OA₁B₁，A₁B₁與OB相交于點A₂．
（1）求線段OA₂的長；
（2）若再以OA₂為邊，按逆時針方向作等邊△OA₂B₂，A₂B₂與OB₁相交于點A₃，按此作法進行下去，得到△OA₃B₃，△OA₄B₄，…△OA_nB_n（如圖）．求△OA₆B₆的周長．

Answer 1

（1）OA₂=

3

2

OA₁=

3

2

×（

3

2

OA）（2分）
=

3

4

OA=

3

4

a（4分）

（2）依題意，OA₁=

3

2

OA、OA₂=

3

2

OA₁=（

3

2

）²OA
OA₃=

3

2

OA₂=（

3

2

）³OA（6分）
以此類推，OA₆=（

3

2

）⁶OA=

27

64

OA=

27

64

a（8分）
即△OA₆B₆的周長=3OA₆=

81

64

a．（9分）