Question

如圖，點C是線段AB上除點A、B外的任意一點，分別以AC、BC為邊在線段AB的同旁作等邊△ACD和等邊△BCE，連接AE交DC于M，連接BD交CE于N，連接MN．
（1）求證：AE=BD；
（2）求證：MN∥AB．

Answer 1

證明：（1）∵△ACD和△BCE是等邊三角形，
∴AC=DC，CE=CB，∠DCA=60°，∠ECB=60°，
∵∠DCA=∠ECB=60°，
∴∠DCA+∠DCE=∠ECB+∠DCE，∠ACE=∠DCB，
在△ACE與△DCB中，
∵

AC=DC ∠ACE=∠DCB CE=CB

，
∴△ACE≌△DCB，
∴AE=BD；

（2）∵由（1）得，△ACE≌△DCB，
∴∠CAM=∠CDN，
∵∠ACD=∠ECB=60°，而A、C、B三點共線，
∴∠DCN=60°，
在△ACM與△DCN中，
∵

∠MAC=∠NDC AC=DC ∠ACM=∠DCN=60°

，
∴△ACM≌△DCN，
∴MC=NC，
∵∠MCN=60°，
∴△MCN為等邊三角形，
∴∠NMC=∠DCN=60°，
∴∠NMC=∠DCA，
∴MN∥AB．