Question

【題目】如圖，點是軸非負半軸上的動點，點坐標為，是線段的中點，將點繞點順時針方向旋轉90°得到點，過點作軸的垂線，垂足為，過點作軸的垂線與直線相交于點，連接，，設點的橫坐標為．

（1）當時，求點的坐標；

（2）設的面積為，當點在線段上時，求與之間的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍；

（3）當為何值時，取得最小值．

Answer 1

【答案】(1)M(1，2)；(2) ；(3) 當時，取得最小值

【解析】

（1）過作于，分別求和的長即可；

（2）易證，可得：，，分別表示和的長，代入面積公式可求得與的關系式；并求其的取值范圍；

（3）根據（2）得線段長，由勾股定理用表示和的長，計算其和，再根據二次根式的意義得出當時，值最小．

解：（1）如圖1，過作于，

，

當時，，

是的中點，

是的中點，

，是的中位線，

，

；

（2）點是由點繞點順時針方向旋轉90°得到的

，，

∴，

又，

，

令得，.

，

綜上所述，即為所求.

（3）由（2）得，，，，

由勾股定理得：，

，

，

當時，有最小值．