Question

5．已知雙曲線$y=\frac{k}{x}$（k＜0，x＞0）的圖象經過Rt△OAB斜邊OB的中點D，與直角邊AB相交于點C．若△OBC的面積為3，則k=-2．

Answer 1

分析 首先過D點作DE⊥x軸，垂足為E，進而得出△OED∽△OAB，再利用相似三角形的性質以及反比例函數的性質得出答案．

解答 解：過D點作DE⊥x軸，垂足為E，
∵在Rt△OAB中，∠OAB=90°，
∴DE∥AB，
∵D為Rt△OAB斜邊OB的中點D，
∴DE為Rt△OAB的中位線，
∴DE∥AB，
∴△OED∽△OAB，
∴兩三角形的相似比為：$\frac{OD}{OB}$=$\frac{1}{2}$
∵雙曲線y=$\frac{k}{x}$（k＜0），可知S_△AOC=S_△DOE=$\frac{1}{2}$|k|，
∴S_△AOB=4S_△DOE=2|k|，
由S_△AOB-S_△AOC=S_△OBC=3，得|2k-$\frac{1}{2}$k|=3，
解得：k=-2．
故答案為：-2．

點評 此題主要考查了反比例函數y=$\frac{k}{x}$中k的幾何意義，即過雙曲線上任意一點引x軸、y軸垂線，所得三角形面積為$\frac{1}{2}$|k|，是經常考查的一個知識點；這里體現了數形結合的思想，做此類題一定要正確理解k的幾何意義．