Question

【題目】如圖①，在Rt△ABC中，∠C=90°．將△ABC繞點C逆時針旋轉得到△A’B’C，旋轉角為 ，且0°< <180°．在旋轉過程中，點B’可以恰好落在AB的中點處，如圖②．

（1）求∠A的度數；
（2）當點C到AA’的距離等于AC的一半時，求 的度數．

Answer 1

【答案】
（1）解：將 繞點 逆時針旋轉得到 ，旋轉角為 ，

∴ ．

∵點 可以恰好落在 的中點處，

∴點 是 的中點．

∵ ，

∴ ．

∴ ．

即 是等邊三角形．

∴ ．

∵ ，

∴

（2）解：如圖，過點 作 于點 ，

點 到 的距離等于 的一半，即 ．

在Rt 中， ， ，

∴ ．

∵ ，

∴ ．

∴ ，即 ．

【解析】（1）由旋轉性質和直角三角形的斜邊中線性質，可先得∠ B = 60 °，再推出∠ A = 30 °；（2）利用30度角的正弦函數，先求出∠ C A D = 30 °，再求出旋轉角∠ A C A ' = 120 ° .
【考點精析】利用銳角三角函數的定義和旋轉的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知銳角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的銳角三角函數；①旋轉后對應的線段長短不變，旋轉角度大小不變；②旋轉后對應的點到旋轉到旋轉中心的距離不變；③旋轉后物體或圖形不變，只是位置變了．