Question

10．如圖，A（0，4）是直角坐標系y軸上一點，動點P從原點O出發，沿x軸正半軸運動，速度為每秒1個單位長度，以P為直角頂點在第一象限內作等腰Rt△APB．設P點的運動時間為t秒．
（1）若AB∥x軸，求t的值；
（2）當t=3時，坐標平面內有一點M，使得以M、P、B為頂點的三角形和△ABP全等，請直接寫出點M的坐標．

Answer 1

分析 （1）由AB∥x軸，可找出四邊形ABCO為長方形，再根據△APB為等腰三角形可得知∠OAP=45°，從而得出△AOP為等腰直角三角形，由此得出結論；
（2）由全等三角形的性質和等腰三角形的性質可得出結論，注意分類討論．

解答 解：（1）過點B作BC⊥x軸于點C，如圖所示．

∵AO⊥x軸，BC⊥x軸，且AB∥x軸，
∴四邊形ABCO為長方形，
∴AO=BC=4．
∵△APB為等腰直角三角形，
∴AP=BP，∠PAB=∠PBA=45°，
∴∠OAP=90°-∠PAB=45°，
∴△AOP為等腰直角三角形，
∴OA=OP=4．
∴t=4÷1=4（秒），
故t的值為4．
（2）當t=3時，M、P、B為頂點的三角形和△ABP全等，可得：
點M的坐標為（4，7），（6，-4），（10，-1），（0，4）．

點評 本題考查了長方形的判定及性質、全等三角形的判定及性質、坐標與圖形性質、等腰三角形的性質等知識；本題綜合性強，有一定難度，證明三角形全等是解決問題的關鍵．